Метод Ейлера

Нехай – шуканий розв’язок задачі Коші (1)-(2). Підставляючи цей розв’язок в рівняння (1) та інтегруючи отриману тотожність на кожному з проміжків , одержимо

, , .

(3)

Якщо h – досить малий крок, то завдяки неперервності функції можна вважати, що є сталою функцією на кожному з проміжків , тобто

.

Тоді співвідношення (3) приймуть вигляд

, , ,

(4)

де . Формули (4) називаються методом Ейлера.

Існують й інші способи побудови методу Ейлера: геометричний спосіб, застосування формули Тейлора, різницевий спосіб, квадратурний спосіб та ін.

Розглянемо геометричну інтерпретацію методу Ейлера (рис. 1). Користуючись тим, що в точці відомо і значення розв’язку (згідно (2)), і значення його похідної (згідно (1)), можна записати рівняння дотичної до графіка функції в точці :

.

(5)

При достатньо малому кроці h ордината цієї дотичної, отримана підстановкою в праву частину (5) значення , за неперервністю повинна мало відрізнятися від ординати розв’язку задачі (1)-(2). Звідси слідує, що точка перетину дотичної (5) з прямою може бути наближено прийнята за нову початкову точку. Через цю точку знову проведемо пряму , яка вже наближено відображає поведінку дотичної до в точці . Підставляючи сюди , іншими словами перетинаючи „дотичну” прямою , отримаємо наближення значення значенням . Аналогічно через точку проведемо пряму з кутовим коефіцієнтом і т.д. Як бачимо, внаслідок цього ми одержуємо формули (4), що виражають ординати точок ламаної лінії. Отже, наближений розв’язок задачі (1)-(2) є ламаною лінією , яка називається ламаною Ейлера.

Рис. 1 Геометрична інтерпретація методу Ейлера

Таким чином, побудова таблиці значень функції, яка є розв’язком задачі Коші (1)-(2), полягає в застосуванні формули:

, .

Приклад 1. Розв’яжемо методом Ейлера задачу Коші

,

(6)

на проміжку . Порівняємо результати розв’язків для кроків .

На рис. 2 показані графіки розв’язків задачі (6) методом Ейлера з різними значеннями кроку та крива, що відповідає точному розв’язку . Для кроку обчислення за формулами методу Ейлера (4) мають вигляд:

1) ;

2) ,

;

3) ,

і т.д.

Ітерації продовжуються до тих пір, поки знаходиться в межах заданого проміжку , тобто . Останнім кроком є

,

Рис. 2 Порівняння розв’язків задачі Коші (6) методом Ейлера для різних значень кроку h

Метод Ейлера, як видно з рис. 1, має похибку. Локальна похибка, наявна на кожному кроці, визначається різницею між точним значенням функції та відповідним значенням „дотичної”. Для першого кроку:

(7)

З (7) видно, що локальна похибка, або іншими словами, покрокова погрішність, пропорційна . Сумарна похибка після N кроків пропорційна , оскільки , то , тобто метод Ейлера є методом першого порядку точності по h.

Таким чином, метод Ейлера дає досить грубе наближення розв’язку задачі Коші, його використовують зазвичай тоді, коли хочуть отримати приблизне уявлення про розв’язок задачі на деякому проміжку.

Контрольні запитання

1. До якої групи методів відноситься метод Ейлера?

2. Що таке розрахунковий крок?

3. Яким чином вводиться система вузлів, в яких обчислюється розв’язок задачі Коші?

4. Який вигляд мають формули методу Ейлера?

5. Яка геометрична інтерпретація методу Ейлера?

6. Якими способами можна вивести формули методу Ейлера? Застосуйте один з них для виведення формул Ейлера.

7. Чи можна застосовувати метод Ейлера до розв’язування задачі Коші на нескінченному інтервалі?

8. Чому дорівнює локальна похибка методу Ейлера?

9. Якою є загальна похибка методу Ейлера?

Поиск по сайту: