ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ

Партию товара, которая была куплена за х1 = 200 млн. руб., торговая фирма собирается на предстоящих торгах продать значительно дороже и получить на этом прибыль.

Однако существует риск, что слишком высокая продажная цена замедлит, а то и вообще остановит реализацию данной партии товара, и фирма вместо прибыли получит убытки. По мнению экспертов фирмы, Р(х ³ 400) = 0, т.е. вероятность продажи товара по цене выше х2 = 400 млн. руб. вообще равна нулю

В то же время снижение продажной цены ради ускорения процесса реализации тоже должно иметь какие-то разумные пределы. Продажа данной партии товара, например, по цене х < 200 млн. руб. принесет торговой фирме прямые убытки.

Какой уровень продажной цены (х_опт) за данную партию товара на предстоящих торгах можно считать в таких условиях оптимальным?

Рекомендации по решению (Ответ для преподавателя)

Так как продавать данный товар по цене ниже 200 млн. руб. невыгодно, а по цене выше 400 млн. руб. невозможно, то попытаемся определить вероятность продажи товара по цене х в интервале 200-400 млн. руб.

Это можно сделать с помощью формулы вида:

Вероятность же того, что вся партия может оказаться непроданной, найдем как Q(x) = 1 – Р(х).

Величины Р(х) и Q(x) в нашем примере можно трактовать не только как вероятности, но и как доли проданной и непроданной продукции.

Возможную прибыль от реализации всей партии по цене х определим как х - 200.

Проделав с помощью приведенных формул соответствующие расчеты, получим следующую таблица 3.

На основе этих данных построим дерево решений и с его помощью найдем оптимальное решение, касающееся уровня запросной цены на предстоящих торгах.

Таблица 3 – Решения задачи

Дерево решений изображено на рисунке 1. Пункт принятия решений на нем обозначен квадратом. Из него выходят пять лучей, соответствующих пяти вариантам запросной цены: 200, 250 и т.д.

На концах выходящих из квадрата лучей стоят кружки, изображающие узлы возникновения неопределенностей. Их тоже пять. О неопределенности приходится говорить потому, что приняв то или иное решение, мы еще не знаем, что оно нам даст.

Из каждого узла неопределенности выходят два финальных луча, соответствующие двум возможным исходам: товар будет продан (П), товар не будет продан (Н). Возле каждого такого луча проставлены соответствующие вероятности. На самых концах финальных лучей стоят ожидаемые выплаты: прибыль или убыток от того, что вся партия товара будет продана или не будет.

Величину убытка для всех вариантов решений примем условно на уровне Ру = 25% от покупной цены, допустив, что четверть товара погибнет, если не будет продана на ближайших торгах. В каждой реальной ситуации его находят, сообразуясь с конкретными обстоятельствами. У скоропортящихся товаров он будет больше, чем у товаров длительного хранения.

После составления дерева решений начинается его обратный анализ. Идя по дереву справа налево и попадая в кружки, мы должны поставить в них математические ожидания выплат. Расчет последних выглядит так:

М(х₁) = 0 × 1 – 50 × 0 = О,

М(х₂) = 50 × 0.75 – 50 × 0.25 = 25,

М(х₃) = 100 × 0.5 – 50 × 0.5 = 25,

М(х₄) = 150 × 0.25 – 50 × 0.75 = 0,

М(х₅) = 200 × 0 – 50 × 1 = -50.

Эти математические ожидания и поставлены нами в кружки, изображающие узлы возникновения неопределенностей.

Двигаясь далее налево, мы попадаем в квадрат и обязаны поставить в него максимальную величину из тех, что стоят на концах выходящих из него ветвей. Таких величин у нас две. Обе они равны 25 и соответствуют решениям назначить продажную цену на уровне 250 и 300.

Рисунок 1 – Дерево решений

Не будем, однако, спешить ставить максимальную выплату в квадрат, где сейчас пока что стоит знак вопроса, Рассматривая рисунок 1, легко прийти к выводу, что между двумя вышеупомянутыми решениями есть третье с еще большей выплатой. Делаем проверку: находим выплату для цены в 275 млн. руб. Этой проверке соответствуют следующие расчеты:

,

прибыль хп = 275 -200 = 75, d = - 50.

Отсюда М(х 275) = 75 × 0.625 - 50 × 0.375 = 28.125.

Таким образом, запросная цена на уровне 275 млн. руб. может обеспечить более высокий результат, чем 250 и 300 млн.руб.

На всякий случай делаем еще одну проверку в окрестностях цены, равной 275 млн. руб., и находим, что отклонение от нее как в большую, так и в меньшую сторону снижает ожидаемую выплату. Так, для цен 270 и 280 млн. руб. выплата получается равной только 28 млн. руб.

Значит, надо остановиться на 275 млн. руб. как оптимальном решении для предстоящих торгов.

Можно было, конечно, с самого начала построить более подробный график дерева решений, ориентированный на более мелкие градации в изменении запросной цены, чем у нас. Например, можно было бы взять шаг для изменения цены не в 50, а всего в 25, а то и в 5 млн. руб. Тогда бы мы сразу вышли на оптимальное решение без всяких дополнительных проверок. Однако в таком случае сам график оказался бы довольно громоздким, со значительно большим числом выходящих из квадрата лучей. Это был бы менее экономный путь нахождения оптимального решения. Поэтому лучше поступить так, как сделали мы: построить график с крупным шагом, потом в нужном месте перейти на более мелкий шаг.

Когда вероятности продажи партии товара по той или иной цене подчиняются закону равномерною распределения, как это наблюдалось в вышерассмотренном примере, оптимальное решение можно найти и без построения дерева решений. В данном случае довольно легко составить функцию, связывающую размер выплаты с запросной ценой, а потом найти экстремум этой функции. Это и будет оптимальным решением. В нашем примере упомянутая функция будет иметь такой вид:

(1)

где (х - а) - прибыль от продажи всей партии товара по цене х,

d – убыток от замедления или остановки процесса реализации,

a и b - минимум и максимум возможной запросной цены на предстоящих торгах.

В нашем примере а = 200, b = 400 и d = 50.

После подстановки этих значений функция математического ожидания выплаты при реализации партии товара по цене х получит такой вид:

у = - 0.005х2 + 2.75х – 350.

Чтобы определить максимум этой функции, находим ее первую производную и приравниваем ее к нулю:

у' = - 0.01х + 2.75 = 0, отсюда Х_оптим = 275.

Результат тот же, но сам способ получения менее нагляден и понятен, чем при использовании дерева решений.

Если не делать подстановок конкретных значений, то нахождение максимума выплаты получит следующий общий вид:

(2)

Для нашего примера получаем:

В случае, когда потери от замедления или остановки процесса реализации очень малы и могут быть проигнорированы, формулу нахождения оптимальной запросной цены на предстоящих торгах можно свести до выражения вида:

(3)

Другими словами, в таком случае в качестве оптимальной можно брать простую среднюю из минимальной и максимальной цены товара на предстоящих торгах.

Но возможность использования столь простых математических средств для нахождения оптимального решения следует понимать как способ вообще отказаться от использования дерева решений. Дело в том, что вышеприведенные математические расчеты опираются на предположение о существовании закона равномерного распределения вероятностей продажи товара по разным ценам. При других законах распределения вероятностей математический поиск оптимального решения может существенно осложниться. Да и не всегда можно подобрать подходящий закон распределения. Построение же дерева решений может помочь легко найти оптимум в любом случае.

Поиск по сайту: