Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования (1) – (2), предполагая, что система ограничений (2) содержит только уравнения, отсутствует условия неотрицательности переменных и - функции, непрерывные вместе со своими частными произведениями

(7)

. (8)

В курсе математического анализа в задачу (7) – (8) называют задачей на условный экстремум или классической задачей оптимизации.

Чтобы найти решение этой задачи, вводят набор переменных , называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лангранжа

находят частные производные и и рассматривают систему n+m уравнений

c n+m неизвестными . Всякое решение системы уравнений (10) определяет точку в которой может иметь место экстремум функции . Следовательно, решив систему уравнений (10), получают все точки, в которых функция (7) может иметь экстремальные значения. Дальнейшее исследование найденных точек проводят так же, как и в случае безусловного экстремума.

Таким образом, определение экстремальных точек задачи (7) – (8) методом множителей Лагранжа включает следующие этапы:

1⁰. Составляют функцию Лагранжа.

2⁰. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным и и приравнивают их нулю.

3⁰. Решая систему уравнений (10), находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4⁰. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, и вычисляют значения функций (7) в этих точках.

Пример. По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве х₁ изделий I способом затраты равны руб., а при изготовлении x₂ изделий II способом они составляют руб. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были минимальными.

Решим теперь задачу, используя метод множителей Лагранжа. Найдем минимальное значение функции при условии, т.е. без учета требования неотрицательности переменных. Для этого составим функцию Лагранжа

вычислим её частные производные по и приравняем их нулю:

Перенося в правые части первых двух уравнений λ и приравнивая их левые части, получим

или .

Решая последнее уравнение совместно с уравнением , находим и т.е. получили координаты точки D, удовлетворяющей условиям (22). Эта точка является подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные, можно показать, что в точке D функция f имеет условный минимум. Этот результат и был получен выше.

Следует отметить, что такой же результат мы получим и в том случае, если исследования на условный экстремум функции f сведем к исследованию на безусловный экстремум функции f₁, полученный из f в результате её преобразований. А именно: если из уравнения связи найдем и подставим это выражение в (20), то получим функцию одной переменной х₁:

Найдем стационарную точку этой функции из уравнения , или , откуда ; . Также как и выше, устанавливаем, что в данной точке функция f имеет минимальное значение.

Пример 2. Фирма реализует автомобили двумя способами: через магазин и через торговых агентов. При реализации х₁ автомобилей через магазин расходы на реализацию составляют усл. ед., а при продаже х₂ автомобилей через торговых агентов расходы составляют усл. ед. Найти оптимальный способ реализации автомобилей, минимизирующий суммарные расходы, если общее число предназначенных для продажи автомобилей составляет 200 штук.

Решение. Составим математическую модель задачи.

Целью является минимизация суммарных расходов

Управляющие переменные – это число автомобилей, реализуемых первым и вторым способом: х₁ и х₂, соответственно (200 штук).

Окончательно математическая модель имеет следующий вид:

Для ее расчета применим метод множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа имеет вид

Найдем частные производные функции F по х₁, х₂ и l и приравниваем их к нулю.

Получим следующую систему уравнений:

Решая систему, найдем

х₁ = 99, х₂ = 101, l =202, f (х₁, х₂) = 20398.

Определитель, составленный из вторых частных производных функций f по х₁, х₂ имеет вид

Следовательно, по теореме о достаточном условии существования условного экстремума функция f (х₁, х₂) в точке х₁ = 99, х₂ = 101 действительно имеет экстремум.

Следовательно в этой точке функция f имеет условный минимум.

Таким образом, для получения минимальных расходов, нужно реализовать 99 автомобилей через магазин и 101 автомобиль через торговых агентов. При этом расходы на реализацию составят 20398 усл.ед.

Решив последнюю систему, найдем оптимальные значения: х₁=99, х₂=101, f (х₁, х₂) = 20398.

Поиск по сайту: