Нормальное распределение плотности вероятностей

(закон Гаусса)

Нормальное распределение случайных погрешностей возникает тогда, когда на результат измерения действует множество случайных возмущений, ни одно из которых не является преобладающим. Практически, суммарное воздействие даже сравнительно небольшого числа возмущений приводит к закону распределения результатов и погрешностей измерений, близкому к нормальному.

В аналитической форме нормальный закон распределения случайной величины х выражается формулой

где x – случайная величина; m_x – математическое ожидание случайной величины; - среднее квадратичное отклонение; - дисперсия, (рис.3,а).

Перенеся начало координат в центр распределения m_x и откладывая по оси абсцисс погрешность , получим кривую нормального распределения погрешностей

(1)

. (2)

Обратим внимание на несколько свойств нормального распределения погрешностей.

Кривая нормального распределения погрешностей симметрична относительно оси ординат, что означает:

1. Погрешности, одинаковые по величине, но противоположные по знаку, имеют одинаковую плотность вероятностей, т.е. при большом числе наблюдений встречаются одинаково часто.

2. Математическое ожидание случайной погрешности равно нулю.

3. Малые погрешности будут встречаться чаще, чем большие. Так, вероятность появления погрешностей, укладывающихся в интервал от 0 до , характеризуемая площадью , будет значительно больше, чем вероятность появления погрешностей в интервале от до (площадь ) (рис.3,б).

4. На рис.4 изображены кривые нормального распределения с различными средними квадратическими отклонениями, причем . Сравнивая кривые между собой можно убедиться, что чем меньше СКО, тем меньше расстояние результатов наблюдений и тем больше вероятность того, что большинство случайных погрешностей в них будет мало. Таким образом, качество измерений определяется СКО, чем меньше СКО случайных погрешностей, тем выше качество измерений.

5. Для группы из n наблюдений, распределенных по нормальному закону, при n→∞ математическое ожидание m_x случайной величины, определенное как среднее арифметическое, является наиболее близким к истинному значению.

4. Метод количественной оценки случайной погрешности.

Для количественной оценки случайных погрешностей и установления границ случайной погрешности результата измерения могут использоваться: предельная погрешность, интервальная оценка, числовые характеристики закона распределения.

Наиболее универсальными и информативными являются квантиальные оценки (интервальные). Площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна единице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абсциссы таких линий называют квантилями. Так, на рис. 5 есть 25%-ная квантиль, так как площадь под кривой слева от нее составляет 25% всей площади. Абсцисса соответствует 75%-ной квантили. Между и заключено 50% всех возможных значений погрешности, а остальные лежат вне этого интервала.

Т.о. интервал от до , на котором с заданной вероятностью P (Р=0–1) встречаются P 100% всех возможных значений случайной погрешности. называется доверительным интервалом случайной погрешности, а соответствующая ему вероятность - доверительной вероятностью. Значения и называются доверительными границами (нижней и верхней) случайной погрешности. Принято границы доверительного интервала (доверительные границы) указывать симметричными относительно результата измерения.

Так как квантили, ограничивающие доверительный интервал погрешности могут быть выбраны различными, то при оценивании случайной погрешности доверительными границами необходимо одновременно указывать значение принятой доверительной вероятности (например, при ).

Доверительные границы случайной погрешности , соответствующие доверительной вероятности P, находятся по формуле

, (3)

где t – коэффициент, зависящий от P и формы закона распределения.

На графике нормального распределения погрешностей (рис.6) по оси абсцисс отложены интервалы с границами . Доверительные вероятности для этих интервалов приведены в табл. 1.

Таблица 1

Как видно из этой таблицы, оценка случайной погрешности группы наблюдений интервалом соответствует доверительной вероятности 0,68. Такая оценка не дает уверенности в высоком качестве измерений, поскольку 32% от всего числа наблюдений может выйти за пределы указанного интервала, что совершенно неприемлемо при однократных измерениях и дезинформирует потребителя измерительной информацией. Доверительному интервалу соответствует P=0,997. Это означает, что практически с вероятностью очень близкой к единице ни одно из возможных значений погрешности при нормальном законе ее распределения не выйдет за границы интервала. Поэтому, при нормальном распределении погрешностей, принято считать случайную погрешность с границами предельной (максимально возможной) погрешностью. Погрешности, выходящие за эти границы, классифицируют как грубые или промахи.

Таким образом, чтобы характеризовать случайную погрешность достаточно полно, надо располагать числами – доверительной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом.

Как было сказано выше, среднее арифметическое значение, полученное в результате обработки некоторого ряда наблюдений, является наиболее близким к истинному, но не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть Р – есть вероятность того, что отличается от не более чем на , тогда доверительным интервалом измеряемой величины называется интервал значений от ( - ) до ( + ), который с заданной вероятностью Р заключает в себе истинное значение измеряемой величины.

Поиск по сайту: