Построение кривой плотности распределения вероятностей

Практическое занятие №2

Теоретические сведения

Вероятностное описание случайной погрешности

Если при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях повторных измерений одной и той же величины получены результаты, отличающиеся друг от друга, то такие расхождения говорят о наличии случайной погрешности. В проявлениях такой погрешности не наблюдается никакой закономерности и они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Предсказать результат отдельного измерения невозможно. Можно лишь с определенной уверенностью сказать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от Х_MIN до

Однако, остается неясным:

- какова вероятность появления того или иного значения погрешности;

- какое из лежащих в этой области значений величины (результатов наблюдений) принять за результат измерения;

- каким показателем охарактеризовать случайную погрешность результата измерения.

Теория вероятности дает математические методы изучения свойств случайных событий в больших совокупностях. Теория погрешностей, используя математический аппарат теории вероятности и математической статистики, основывается на рассмотрении появления случайных погрешностей как случайных событий. Указанные методы позволяют дать количественные оценки результата измерения и его случайной погрешности.

Для характеристики свойств случайной величины в теории вероятности используют понятие закона распределения вероятностей случайной величины.. В метрологии преимущественно используется закон распределения плотности вероятности случайной величины.

В измерительной практике чаще принимается нормальная и равномерная плотность распределения Лапласа. Рассмотрим формирование дифференциального закона распределения на примере измерений с многократными наблюдениями.

Построение кривой плотности распределения вероятностей.

Пусть произведено n последовательных наблюдений одой и той же величины X и получена группа измерений X₁, X₂, X₃, …, X_n. Каждое из значений Х_i содержит ту или иную случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке их возрастания, от Х_min до Х_max и найдем размах ряда L= Х_max- Х_min. Разделив размах ряда на k равных интервалов

l = L/k, подсчитаем количество наблюдений n_k, попадающих в каждый интервал. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а по оси ординат – относительную частоту попаданий n_k/n. Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой n_k/n, получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте (рис.2).

Рис. 2. Гистограмма и кривая плотности распределения вероятностей.

На рис. 2 показана полученная в одном из опытов гистограмма, построенная на основании результатов 50 наблюдений.

В данном опыте в первый и последующие интервалы попадает соответственно 0,1; 0,2; 0,36; 0,22; и 0,12 от общего количества наблюдений; при этом очевидно, что сумма этих чисел равна единице.

При бесконечном увеличении числа наблюдений n и бесконечном уменьшении ширины интервалов l , ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую f(x), называемую кривой плотности распределения вероятностей случайной величины, а уравнение, описывающее ее – дифференциальным законом распределения.

Отметим свойства дифференциального закона распределения.

1. Кривая плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде

.

2. Закон распределения дает полную информацию о свойствах случайной величины и позволяет ответить на поставленные вопросы о результате измерения и его случайной погрешности. Если известен дифференциальный закон распределения случайной величины f(x), то вероятность P ее попадания в интервал от x₁ до x₂ определяется

.

Графически эта вероятность выражается отношением площади, лежащей под кривой f(x) в интервале от x₁ до x₂ к общей площади, ограниченной кривой распределения.

Для описания свойств случайной величины используют числовые характеристики распределений. Такими характеристиками являются математическое ожидание случайной величины, дисперсия и среднее квадратическое отклонение (СКО). Математическое ожидание определяет центр рассеяния случайной величины; дисперсия случайной величины характеризует рассеяние отдельных ее значений. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины и выражает как бы мощность рассеяния относительно постоянной составляющей. Однако чаще пользуются положительным корнем квадратным из дисперсии – средним квадратическим отклонением (СКО), которое имеет размерность самой случайной величины.

Поиск по сайту: