Оптимальне квантування

Східчаста функція квантування , показана на Рис. 1.25, є непарною функцією , тобто ; таким чином, вона повністю задається набором з пар значень і для першого квадранта на графіку. Ці точки розривів задають скачки функції і називаються пороговими рівнями () і рівнями квантування () квантувача. Зазвичай вважають, що вхідне значення відображається в рівень квантування , якщо знаходиться в напівінтервалі при , і, відповідно, при .

Проблема побудови квантователя полягає у виборі найкращих значень і для конкретного критерію оптимізації та щільності розподілу ймовірностей . Якщо критерієм оптимізації,

Рис. 1.25. Типова функція квантування.

який може бути як статистичної, так і візуальною мірою, є мінімізація середнього квадрата помилки квантування (тобто ), а також, якщо є парною функцією, умовами мінімальної помилки [Мах, 1960] є:

і

Рівняння (1.5-20) показує, що оптимальні рівні квантування є точками центрів тягарів областей під по кожному з інтервалів квантування, розділених пороговими рівнями, а рівняння (1.5-21) - що порогові рівні повинні розташовуватися посередині між рівнями квантування. Умови (1.5-22) є наслідком того, що q - непарна функція. Таким чином, для будь-якого L і , такі пари і для яких виконуються рівняння (1.5-20) - (1.5-22), є оптимальними в сенсі среднеквадрі-тичної помилки. Відповідний квантователь називається L -рівневим квантувачем Ллойда-Макса.

Таблиця 1.10. Квантователь Ллойда-Макса для щільності розподілу ймовірностей Лапласа з одиничною дисперсією.

У таблиці 1.10 наведені порогові рівні і рівні квантування 2-, 4-, і 8-рівневого квантувача Ллойда-Макса для функції щільності розподілу ймовірностей Лапласа з одиничною дисперсією (1.4.10). Ці значення були отримані чисельним методом [Paez, Glisson, 1972], оскільки отримання точного, або явного, рішення рівнянь (1.5-20) - (1.5-22) для більшості нетривіальних досить важко. Три представлених квантувача забезпечують фіксовані швидкості коду, рівні, відповідно, 1, 2 і 3 бітам/піксель. Оскільки Таблиця 1.10 була побудована для розподілення з одиничною дисперсією, то значення порогових рівнів і рівнів квантування для випадків виходять простим множенням табульованих значень на величину стандартного відхилення наявного розподілу щільності ймовірностей. В останньому ряду таблиці наведені розміри кроку оптимального рівномірного квантувача, який одночасно задовільняє рівняння (1.5-20) - (1.5-22), а також додатковим обмеженням.

Якщо в кодере з втратами з пророкуванням (Рис. 1.21 (а)) використовується кодер символів, що породжує нерівномірний код, то при одній і тій же вихідній точності оптимальний рівномірний квантувач з кроком розміру в забезпечить більш низьку швидкість коду (для щільность розподілу ймовірностей Лапласа), ніж рівномірно кодований вихід квантувача Ллойда-Макса.

Як квантователь Ллойда-Макса, так і оптимальний рівномірний квантувач не є адаптивними, і набагато кращий результат можна отримати, адаптуючи рівні квантування відповідно до змін локальних характеристик зображення. Теоретично, області з плавними змінами яскравості можуть квантуватись на більш дрібні рівні, тоді як області швидких змін - на більш грубі. Такий підхід одночасно скорочує як шум гранулярності, так і перевантаження по крутизні, вимагаючи при цьому мінімальне збільшення кодової швидкості. Однак такий компроміс значно збільшує складність квантувача.

Приклад 1.18. Ілюстрація процесів квантування і відновлення.

На Рис. 1.26 (а), (в) і (д) представлені відновлені зображення, отримані комбінацією 2-, 4-, або 8-рівневого квантувача Ллойда-Макса та двовимірного провісника (1.5-18). Параметри квантователя визначалися шляхом множення табличних значень порогових рівнів та рівнів квантування для квантователя Ллойда-Макса (див. Таблицю 1.10) на

а) б)

в) г)

д) е)

Рис. 1.26. Результати ДІКМ кодування з втратами зображення на Рис. 1.23: (а) 1,0; (б) 1,125; (в) 2,0; (г) 2,125; (д) 3,0; (е) 3,125 біта/піксель.

на стандартне відхилення неквантованої помилки двовимірного передбачення, наведене в попередньому прикладі (тобто 3,3 рівня яскравості). Зверніть увагу, що контури на декодованих зображеннях розмиті через перевантаження по крутизні. Цей ефект сильно помітний на Рис. 1.26 (а), де використувався дворівневий квантувач, але вже проявляється менше на Рис. 1.26 (в) і (д), які отримані за допомогою 4- і 8-рівневий квантувач. На Рис. 1.27 (а), (в) і (д) показані посилені різниці між вихідним (на Рис. 1.23) і отриманими декодованими зображеннями.

Для отримання декодованого зображення на Рис. 1.26 (6), (г) і (е), помилки яких показані на Рис. 1.27 (6), (г) і (е), викоритовувався метод адаптивного квантування, в якому для кожного блоку з 16 елементів вибирався найкращий (в сенсі середнього квадрата помилки) з чотирьох можливих квантувачів. Ці чотири квантувача є варіантами масштабування раніше описаного оптимального квантувача Ллойда-Макса. Масштабні коефіцієнти були 0,5, 1,0, 1,75. і 2,5. Оскільки для зазначення номера вибраного квантувача до кожного блоку додавався 2-бітовий додатковий код, то накладні витрати склали 0,125 біта/піксель. Зверніть увагу на значне зменшення видимих ​​помилок, досягнуте завдяки незначному збільшенню швидкості коду.

У Таблиці 1.11 наведені значення стандартних відхилень помилок (1.1-8) різницевих зображень на Рис. 1.27 (а) - (е) ​​усіх чотирьох варіантів вищенаведених провісників (1.5-16) - (1.5-19) при різних комбінаціях провісника і квантувача. Зауважимо, що з точки зору середнього квадрата помилки, дворівневий адаптивний квантувач дає настільки ж добрі результати, що і чотирьохрівневий неадаптівний. Більш того, чотирьохрівневий адаптивний квантувач дає кращі результати, ніж восьмирівневий неадаптівний. Взагалі, чисельні результати показують, що тенденції зміни величини помилки для провісників (1.5-16), (1.5-17) і (1.5-19) збігаються з аналогічними характеристиками провісника (1.5-18). У нижньому рядку таблиці наведена величина стиснення, що досягається кожним з розглянутих методів. Зауважимо, що значні зменшення стандартного відхилення помилки, що досягається адаптивним квантувачем, не приводить до істотного поліпшення характеристик стиснення.

Таблиця 8.11. Значення стандартних відхилень помилок при ДІКМ коди рованії з втратами.

а) б)

в) г)

д) е)

Рис. 1.27. Зображення підсилених в 8 разів помилок ДІКМ кодування на Рис. 1.26.

Поиск по сайту: