Лекция. Закон сложения перемещений и скоростей. Относительность движения

Очень часто мы сталкиваемся с ситуацией, когда одно тело движется по другому телу, а это тело в свою очередь движется относительно Земли. Например, человек идёт по салону автобуса, а автобус едет по дороге; моторная лодка плывёт по реке, в которой сильное течение, в воздухе летит воздушный шар и воздух движется относительно земли (дует ветер) и пр. Подумайте сами, в каких случаях встречаются подобные ситуации.

Сформулируем некоторые общие вещи.

Пусть перемещение тела относительно движущейся системы отсчёта (относительно другого тела, движущегося по земле) равно , перемещение движущейся системы отсчёта относительно неподвижной равно . Обозначим перемещение тела относительно неподвижной системы отсчёта (Земли) , тогда

.

Мы только что сформулировали классический закон сложения перемещений.

Рассмотрим некоторые примеры.

Подъёмный кран при подъёме груза на высоту 20 метров, переместился по рельсам, проложенным по горизонтальной поверхности на 30 метров (рис.5). Как при этом переместился груз?

Перемещение груза относительно крана - , перемещение крана относительно земли - . Тогда перемещение груза относительно земли равно

;

модуль перемещения груза относительно земли

;

м.

Таким образом, груз поднимается вверх и одновременно смещается вправо вместе с краном.

Человек по квадратному плоту прошёл по диагонали, а плот за это время сместился вниз по течению реки на расстояние, равное стороне плота. Чему рано перемещение человека? Сделаем рисунок (рис.6). Пусть длина стороны квадратного плота равна а. Перемещение человека - (перемещение человека относительно движущейся системы отсчёта, связанной с плотом, либо, что то же самое, с рекой, ведь плот движется со скоростью, равной скорости течения реки). Перемещение плота относительно берега за это время - . Перемещение человека относительно берега равно

.

Модуль перемещения можно определить по теореме Пифагора (треугольник АВС)

.

Теперь разберёмся, что происходит со скоростями в подобных ситуациях.

Пусть для простоты тело движется равномерно со скоростью относительно движущейся системы отсчёта, которая движется со скоростью относительно неподвижной системы отсчёта (Земли). Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта (Земли) равна

.

Записанное выражение отражает классический закон сложения скоростей.

Яркий пример проявления закона сложения скоростей – движение в реке с течением.

Скорость лодки относительно воды, которая, как известно, течет относительно берега сверху вниз, обозначим . Эту скорость лодке может сообщить гребец (гребцы), сидящий в ней, либо мотор. Скорость течения реки пусть одинакова по всей ширине реки и равна . Понятно, что в реальной реке всё гораздо сложнее, вода вблизи берегов тормозится, там скорость течения меньше, чем в середине реки, в реке есть водовороты, камни и т.д. Но всеми этими эффектами мы пренебрежём. Скорость лодки относительно берега равна

.

Пусть лодка плывёт по течению реки, тогда вектора и сонаправлены, модуль скорости лодки относительно берега равен

.

Если лодка плывёт против течения реки, то скорость лодки относительно берега равна

.

Понятно, что плыть против течения удаётся не всегда. Если , то сильным течением лодку будет сносить вниз по течению реки, и движение против течения окажется невозможно. Если , то все усилия гребца сидящего в лодке направлены на то, чтобы удержать лодку в покое относительно берега. Плыть против течения удастся только в случае .

Рассмотрим задачу о переправе. Пусть скорость течения реки по всей ширине реки одинакова, равна и направлена параллельно берегам. Ширина реки всюду одинакова и равна . Скорость лодки равна . Выясним, как будет двигаться лодка, если при переправе скорость лодки относительно воды будет направлена перпендикулярно берегу. Скорость лодки относительно берега равна (рис.7)

.

Как видно из рисунка, вектор направлен по линии АС, а не перпендикулярно берегу, как того желают сидящие в лодке гребцы. Модуль находим по теореме Пифагора

.

Время переправы Т определяется шириной реки и собственной скоростью лодки V

.

При переправе лодку снесёт на расстояние ВС

.

Ответим на вопрос – как нужно направлять лодку при переправе, чтобы плыть строго перпендикулярно берегу, то есть, чтобы не было сноса. Скорость лодки относительно берега по-прежнему равна (рис.8)

.

Вектор должен быть направлен перпендикулярно берегу (по линии АВ). Чтобы вектор мог быть направлен таким образом, вектор собственной скорости лодки должен составлять с берегом угол b, который можно определить так

.

Понятно, что движение без сноса возможно только в том случае, когда .

Модуль скорости лодки относительно берега равен

.

Время переправы равно

.

Вспомним ещё раз формулировку закона сложения скоростей. Тело движется равномерно со скоростью относительно движущейся системы отсчёта, которая движется со скоростью относительно неподвижной системы отсчёта (Земли). Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта (Земли) равна

.

Записанное выражение позволяет определять скорость относительного движения тел. Пусть движущаяся система отсчёта связана с некоторым телом (назовём его – второе тело). А первое тело движется относительно земли со скоростью .

Тогда скорость первого тела относительно второго равна

;

то есть – это скорость первого тела относительно движущейся системы отсчёта, связанной со вторым телом. А скорость второго тела относительно первого равна

.

Таким образом, мы можем решать задачи об относительном движении тел.

Не следует забывать, что за векторными уравнениями, записанными для и скрываются три скалярных уравнения для проекций скоростей на оси ОХ, ОY, OZ.

Подробнее остановимся на понятии относительной скорости, для этого опять обратимся к примерам.

Пусть автомобиль едет с постоянной скоростью , а на обочине дороги стоит пешеход (рис.9). Скорость автомобиля относительно пешехода равна , а вот скорость пешехода относительно

автомобиля равна , то есть по модулю она равна скорости автомобиля относительно Земли, но направлена противоположно (если наблюдатель находится в автомобиле, то он видит, что пешеход сначала приближается к автомобилю со скоростью V, а затем,

когда автомобиль проедет мимо пешехода, что тот удаляется от автомобиля со скоростью V).

Пусть тот же автомобиль едет со скоростью , приближаясь к перекрёстку, а грузовик приближается к тому же перекрёстку по перпендикулярной дороге со скоростью (рис.10). Определим скорость автомобиля относительно грузовика (перейдём в систему отсчёта, связанную с грузовиком)

,

, а направление указано на рисунке 10.

Теперь определим скорость грузовика относительно автомобиля (перейдём в систему отсчёта, связанную с автомобилем)

.

Модуль скорости также определим по теореме Пифагора

.

Для того, чтобы не запутаться при определении скорости относительного движения тел, советуем воспользоваться следующим приёмом. Например, вам нужно определить скорость одного автомобиля относительно второго. Вы мысленно садитесь в первый автомобиль, становитесь его пассажиром и представляете, как будет двигаться второй автомобиль относительно вас. Для ситуации, изображённой на рисунке 10, если вы сидите в автомобиле, то грузовик относительно вас будет во-первых, приближаться к перекрёстку по дороге MN со скоростью , а, во-вторых, будет приближаться к вам параллельно дороге АВ со скоростью V. На самом деле по дороге АВ едет ваш автомобиль со скоростью V, но поскольку Вы сидите в нём, то Вы видите, что грузовик едет на Вас со скоростью V, то есть относительно Вас грузовик едет влево. Так очень просто можно запомнить, что в формуле , перед стоит знак «минус», что означает, что для Вас (сидящих в автомобиле) грузовик едет влево.

Выясним сейчас, как можно определить расстояние междy телами в процессе движения.

Расстояние между двумя материальными точками А с координатами и В с координатами определяется следующим образом

.

Если точки движутся, то их координаты зависят от времени, эта зависимость описывается уравнениями движения. Поэтому и расстояние между ними тоже зависит от времени.

Поиск по сайту: