ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

С13.Вагон поезда, движущегося со скоростью 36 км/ч, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно к движению вагона. Одно отверстие в стенках вагона смещено относительно другого на 3 см. Ширина вагона 2,7 м. Какова скорость движения пули?

РЕШЕНИЕ:

Определим время пролёта пулей расстояния, равного ширине вагона d

.

Так как отверстия в противоположных стенках смещены, то вагон за время прошёл расстояние .

Из записанных соотношений определяем скорость пули

С14.Столкнутся ли космический корабль и метеорит, если они движутся по пересекающимся траекториям со скоростями V и U?

РЕШЕНИЕ:

Если столкновение корабля и метеорита произойдёт, то произойти это событие может только в точке пересечения траекторий, причём оказаться в этой точке метеорит и корабль должны в один и тот же момент времени. Следовательно, чтобы столкновение произошло, необходимо, чтобы времена движения корабля и метеорита до точки пересечения траекторий были одинаковыми. Обозначим: S – расстояние от корабля до точки пересечения траекторий; d – расстояние от метеорита до этой точки. Как мы уже выяснили, условием столкновения является тот факт, что времена движения корабля и метеорита до точки пересечения траекторий равны. Таким образом, условием столкновения является следующее равенство

.

Проверить это условие по рисунку можно так: надо взять линейку и измерить расстояния S, d, а также длины векторов V и U, затем посчитать указанные отношения и сравнить полученные числа.

Решая задачу таким образом, мы рассматривали движение объектов в неподвижной системе отсчёта (связанной, например, с очень далёкими звёздами, которые находятся настолько далеко, что их движение мы просто не замечаем, а поэтому считаем их неподвижными). Кроме того, обратим внимание читателя на то, что при таком решении и корабль, и метеорит считаются материальными точками. Но очевидно, что данное приближение - плохое. Ведь метеорит может не удариться о нос корабля, но может ударить хвостовой отсек, и столкновение при этом произойдёт.

На наш взгляд, задачу можно решить более изящно, связав систему отсчёта с одним из тел, например, с космическим кораблём. Итак, перейдём в систему отсчёта, связанную с кораблём. В этой системе отсчёта корабль покоится, траектория его движения – точка в том случае, если условия задачи таковы, что его можно считать материальной точкой. Скорость метеорита относительно корабля равна

,

метеорит движется по прямой линии, параллельной вектору . Столкновение произойдёт, если эта прямая пройдёт через космический корабль. Наш рисунок таков, что прямая через место, где находится корабль, не проходит, поэтому в нашем случае столкновения не будет. В предложенном способе решения существует возможность учёта размеров объектов – корабль покоится, а метеорит в этой системе отсчёта в пространстве при движении проходит через точки, находящиеся внутри трубы (она выделена цветом на рисунке), края которой параллельны вектору .

С15.Две автомашины движутся по взаимно перпендикулярным дорогам, приближаясь к перекрёстку со скоростями, равными V и U. Положение автомашин в некоторый момент времени изображено на рисунке. Чему равно минимальное расстояние между автомашинами.

РЕШЕНИЕ:

Способ первый.

Свяжем систему отсчёта с Землёй. Выберем систему координат (см.рис.) и запишем уравнения движения автомашин

;

;

;

.

Расстояние между автомашинами в любой момент времени определяется следующим образом

.

Для определения минимального расстояния между автомашинами нужно исследовать поведение функции в зависимости от времени и найти её минимальное значение. В общем случае такие задачи решаются с помощью производной. Но поскольку вряд ли кто-нибудь из читателей знаком хотя бы с основами математического анализа, мы исследование на минимальное значение проведём по-другому.

Обозначим подкоренное выражение

.

Так как значение корня монотонно увеличивается с увеличением значения подкоренного выражения , то будем искать минимальное значение функции . Видно, что это – квадратный трёхчлен, график которого – парабола ветвями вверх, следовательно, минимальное значение он принимает в вершине.

Определим координату вершины

.

Для определения минимального расстояния надо подставить полученный момент времени в выражение для

.

Способ второй.

Перейдём в систему отсчёта, связанную с первым автомобилем. Скорость второго автомобиля относительно первого равна

; .

В этой системе отсчёта первый автомобиль покоится, а второй движется равномерно и прямолинейно по прямой линии ВА. Минимальное расстояние между автомобилями – это перпендикуляр, опущенный из точки D, где находится 1 автомобиль, на прямую ВА, по которой движется второй автомобиль.

Определим минимальное расстояние . Так как треугольники EFB и ADC подобны, то

.

Треугольники EFB и AOB также подобны, поэтому

.

Длина отрезка AD равна

.

Окончательно, минимальное расстояние равно

.

С16. Переход пароходов из порта А в порт В длится ровно 12 суток. Каждый полдень из А в В и из В в А отходит по пароходу. Сколько пароходов встретит в открытом море каждый из вышедших пароходов?

РЕШЕНИЕ:

Пароход, вышедший из порта А, встретит пароходы, которые уже ранее вышли из порта В (12 пароходов). Кроме того, в море он встретит 11 пароходов, которые выйдут из порта В за 12 суток его пути. Итог – 23 парохода. При этом мы не считаем пароход, который прибывает в А момент отхода нашего парохода и пароход, который выходит из В в момент прихода туда нашего парохода.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Д1.Две моторные лодки движутся вдоль направления течения реки навстречу друг другу. Скорость течения реки 2 м/с, скорость каждой лодки относительно воды 3 м/с. Через сколько времени после встречи расстояние между лодками станет равным 120 м?

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим движение лодок относительно воды: каждая из них движется со скоростью 3 м/с. То есть лодки после встречи «уезжают» друг от друга со скоростями 3м/с, поэтому время движения равно

Д2.Скорость течения реки равна U = 3 м/с, а гребец может сообщить лодке относительно воды скорость V = 5 м/с. Ширина реки d = 40 м. Определить, за какое время:

а) лодка опустится вниз по течению на S = 40 м и вернётся обратно;

б) пересечёт реку, направляя скорость лодки относительно воды перпендикулярно берегу реки.

РЕШЕНИЕ:

а) Сначала лодка движется по течению, её скорость относительно берега при этом равна . Расстояние S лодка пройдёт за время t_1, равное

; с.

Когда лодка будет двигаться против течения, скорость её движения относительно берега будет равна

.

Расстояние S лодка пройдёт за время t₂, которое равно

; с.

Лодка опустится вниз по течению на S = 40 м и вернётся обратно за время t, равное

; с.

б) Когда гребец направляет скорость лодки относительно воды (вектор ) перпендикулярно берегу, то лодку будет сносить, её скорость относительно берега направлена под некоторым углом к берегу. Модуль скорости лодки относительно берега равен

; м/с.

Время переправы определяется шириной реки d и скоростью (ведь именно она направлена перпендикулярно берегу, то есть определяет время переправы Т, поскольку она ответственна за попадание на другой берег)

; с.

Д3. Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 м/с относительно воды. На сколько метров катер будет снесён течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения реки 1 м/с?

РЕШЕНИЕ:

Собственная скорость катера направлена перпендикулярно берегу. Время переправы Т равно

.

Здесь d – ширина реки. При скорости течения U за это время катер снесёт по течению на расстояние

ДЛЯ ЖЕЛАЮЩИХ

Ж10.Лента транспортёра имеет скорость W. Над лентой движется автомат, выбрасывающий N шариков в единицу времени. Шарики прилипают к ленте. Счётчик шариков с фотоэлементом считает только шарики, прошедшие непосредственно под ним. Сколько шариков сосчитает счётчик за единицу времени, если скорость автомата , скорость счётчика ?

РЕШЕНИЕ:

За время первый автомат выбросит шариков, которые на ленте образуют отрезок длины . За время мимо второго автомата проедет ряд, имеющий длину , количество шариков в этом ряду равно

.

Ж11. По пересекающимся под углом дорогам движутся две автомашины с постоянными скоростями и . Определить величину и направление скорости одного автомобиля относительно другого. Через какое время после встречи на перекрёстке расстояние между машинами будет равно S?

РЕШЕНИЕ:

Скорость первого автомобиля относительно второго равна

.

Модуль скорости определим по теореме косинусов

.

Время, через которое после встречи на перекрёстке расстояние между автомашинами станет равным S, определим следующим образом

.

Ж12. По пересекающимся под углом дорогам движутся две автомашины с постоянными скоростями и . Автомашины не встретились на перекрёстке, причём вторая машина проехала перекрёсток через промежуток времени после первой. Каково было наименьшее расстояние между машинами?

РЕШЕНИЕ:

Перейдём в систему отсчета, связанную со второй машиной. Скорость первой машины относительно второй равна

.

В этой системе отсчёта вторая машина не движется и все время находится в точке О, а первая машина движется по линии MN. Наименьшее расстояние между машинами – длина отрезка OD (перпенди-куляр, опущенный из точки О на прямую MN). Из треугольника скоростей по теореме синусов определим синус угла САВ, который обозначим γ

.

Из треугольника ODA определим длину отрезка OD

.

Так как , то получим

.

Ж13. Два спортсмена бегут по дорожкам круглого стадиона. Один из них бежит по внешней дорожке радиуса м со скоростью , второй – по внутренней дорожке радиуса м со скоростью . Начальное положение спортсменов показано на рисунке. Сколько раз спортсмены окажутся на минимальном расстоянии, пока первый спортсмен, бегущий по внешней дорожке, пробегает 20 кругов?

РЕШЕНИЕ:

Положение спортсменов будем характеризовать углом, который в данный момент времени составляет радиус, проведённый к точке, где находится спортсмен с радиусом, проведённым в начальную точку .

Установим зависимость от времени этого угла для спортсменов. При пробегании спортсменом полного круга угол меняется на 2π (360^о). Один полный круг спортсмен делает за время Т, которое находится из соотношения

Тогда в единицу времени угол меняется на величину . Поскольку движение равномерное, то угол меняется по линейному закону .

Тогда для первого спортсмена эта зависимость имеет вид , для второго . Для того, чтобы спортсмены оказались на минимальном расстоянии нужно, чтобы выполнялось условие

,

где n – целое число.

Получим уравнение

,

из которого определим моменты времени, когда тела оказываются на минимальном расстоянии

.

Так как по условию задачи первый спортсмен должен сделать N = 20 кругов, а на это потребуется секунд, то должно быть меньше . Отсюда определяем, что спортсмены окажутся на минимальном расстоянии 4 раза.

Ж14. На одном и том же кадре, снятом из космоса дважды с интервалом времени 1 час, изображены положения кораблей А и В. Там же показан и масштаб съёмки. Считая, что корабли продолжают равномерно перемещаться, определите минимальное расстояние между ними.

РЕШЕНИЕ:

Заметим, что нам дано положение кораблей через 1 час, то есть мы знаем скорости кораблей, кроме того, длины отрезков и одинаковы. Определим скорость корабля А относительно корабля В (перейдём в систему отсчёта, связанную с кораблём В) . В этой системе отсчёта корабль В покоится, а корабль А движется по линии , минимальное расстояние между точкой В и прямой – перпендикуляр, поэтому проводим из точки В₁ перпендикуляр к этой прямой и находим минимальное расстояние, воспользовавшись масштабом

.

Поиск по сайту: