Весовое преобразование Фурье

Для определяем весовое преобразование Фурье [3]

,

где -обычное преобразование Фурье по переменной , а оператор определен на функциях по формуле:

где -обратная функция в функции .

Определим весовое преобразование через интеграл:

Из определения (множество бесконечно дифференцируемых функций переменной , убывающих быстрее любой отрицательной степени ) и свойств преобразования Фурье на следует, что является линейной непрерывной операцией из на .

Обозначим . С помощью обратного преобразования Фурье находим: . Если последнее равенство разделим на и сделаем замену переменных, то получим:

.

Таким образом, преобразование отображает взаимнооднозначно на . Кроме того, учитывая свойства обычного преобразования Фурье, можно сказать, что операция является линейной и непрерывной из на , а - линейной и непрерывной из на .

Из определения в связи весового преобразования с обычным преобразованием Фурье вытекает, что

для любого

для любого .

Определим теперь весовое преобразование Фурье от производной:

.

Действительно:

Используя следующую формулу определим производную от весового преобразования Фурье:

.

Действительно:

2.3. Класс весовых мультипликаторов .

Теперь введем обобщенные весовые функции определенные на отрезке .

Множество линейных непрерывных функционалов над пространством называется множеством весовых обобщенных функций .

Функционалы над обозначаются где .

Сходимость в определяется как слабая сходимость функционалов: последовательность обобщенных функций из при сходится в к обобщенной функции , если для любой : при .

Линейное множество с введенной на нём сходимостью называется пространством весовых обобщенных функций.

Пространство -пространство линейных и непрерывных функционалов над является сопряженным к пространству .

Определим операторы на и на по формулам:

,

где функционал, стоящий в правой (левой) части первого (второго) равенства означает функционал над

Докажем предыдущие равенства через интегралы.

Знаем:

Действительно:

Очевидно, что непрерывная операция из на .

Определим преобразование Фурье на по формуле:

,

т.е. это на по формуле:

, т.е. .

и -прямое и обратное преобразование Фурье пространства обобщенных функций .

Одним из свойств прямого и обратного преобразования Фурье в является легко доказываемое равенство:

в , в .

Пусть , где . Обозначим:

,

где и соответственно, прямое и обратное преобразование Фурье в пространстве обобщенных функций .

Обозначим через . Будем говорить, что функция принадлежит классу весовых мультипликаторов [4] в пространствах , если для любой функции справедлива оценка:

.

Теорема (о мультипликаторах). Если функция имеет непрерывные частные производные до порядка включительно для всех , и существует положительное число , такое, что для всх мультииндексов , где принимают значения 0 и 1,

,

тогда функция принадлежит классу и

,

где постоянная зависит лишь от и .

Доказательство. Учитывая, что

, .

Подставляя значения и используя рассуждения, приведенные в теореме, запишем следующую систему равенств

Из условия теоремы следует, что является мультипликатором в . Следовательно, из теоремы С.Г. Михлина- П. И. Лизоркина имеем:

,

где постоянная зависит лишь от и . Отсюда окончательно получаем:

.

Поиск по сайту: