Преобразование Фурье функции нескольких переменных

Пусть теперь -функция на -мерном евклидовом пространстве , причем , где -координаты точки в некоторой системе координат. Функция называется абсолютно интегрируемой, если она интегрируема по любому шару , . Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции определяется формулой

,

которая по своему виду совпадает с формулой, но теперь , -означает скалярное произведение, т.е. , где , знак интеграла, как мы уже говорили выше, означает интегрирование по всему .

Преобразование Фурье любой является непрерывной ограниченной функцией и стремится к нулю при .

Если функции и абсолютно интегрируемы, то функция имеет непрерывную частную производную и

.

Доказательство этих утверждений получается почти дословно повторен соответствующих доказательств для одномерного случая.

Пусть абсолютно интегрируемая функция при всех имеет частную производную , которая является непрерывной и абсолютно интегрируемой функцией. В таком случае

Доказательство формулы аналогично доказательству формулы, поскольку -мернуы интеграл

можно свести к повторному и тогда в интеграле по переменному можно будет произвести те же самые преобразования, которые были использованы при вводе формулы.

Определение пространства и сходящейся последовательности для функций многих переменных получается, если индексы и в приведенных выше определениях для случая оного переменного заменить на мультииндексы , , считая, что

, .

Если , то для любых

.

Действительно, , а ограниченность функций устанавливается с помощью этого же рассуждения, что и неравенство.

Так как -мерный интеграл в том и только том случае, когда , то выбирая в в качестве число , получим, что функция абсолютно суммируемы. В частности, абсолютно суммируема и сама функция .

Далее, точно так же, как и в случае одного переменного, доказывается, что для любой функция так же принадлежит .

Для функции верна формула обращения преобразования Фурье

.

Например, для случая функций от двух переменных

.

Действительно, переходя от кратных интегралов к повторным, переставляя порядки интегрирования, что законно, так как и абсолютно интегрируемы, и пользуясь формулой обращения для функций одного переменного, получим, что

Аналогичным образов формула обращения доказывается в случае любого числа переменных. С помощью формулы обращения, как и в случае одного переменного, для функций многих переменнх устанавливается.

Теорема. преобразование Фурье осуществляется взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение пространства на все .

Отметим еще, что для функций из справедлива формула

,

которая следует из.

1.2. Мультипликаторы Фурье в пространстве

Введем понятие мультипликатора[1].

Рассмотрим функцию , пусть - прямое преобразование Фурье, тогда если , то

, где ,

и, следовательно, определено произведение:

По определению функция назевается мультипликатором в , если

1)

2) выполняется

,

где - константа, не зависимая от , а -обратное преобразование Фурье, т.е. для и

, где .

Возьмем бесконечно дифференцируемые функции и функцию . Пусть выполняется условие тогда из следует, что

, при .

Из последнего неравенстве следует, что существует функция, к которой при в смысле стремится .

Можно записать: (данное равенство получается из теоремы о преобразовании Фурье свертки .

Очевидно , , где - та же констванта, что и в соответствующем равенстве для .

Множество таких функций будем обозначать .

Зададим вектор , где или . Носителем вектора будем назвать множество тех индексов , для которых .

Теорема. Пусть на задана функция , обладающая свойствами: каков бы ни был вектор , производная существует и неравенства в любой точке , , где , и подчиняется неравенству

Тогда - мультипликатор, т.е. существует независимая от и константа такая, что

, , .

Заметим, что т. к. удовлетворяет указанному в теореме свойству и при , то ограничена на и непрерывна, разве что за исключением точек, принадлежащих координатным плоскостям. Поэтому на , - измеримая функция, и в то же время, обобщенная.

Поиск по сайту: