Формула обращения преобразования Фурье

Часто возникает такая ситуация, что мы не знаем самой функции f(x), но можем найти В таком случае возникает задача обращения преобразования Фурье, то есть задача о вычислении функции f(x) в точке x по известной функции . Следующая теорема дает решение этой задачи при дополнительном предложении о существовании производной функции в точке .

Теорема 1. Если функция абсолютно интегрируема и существует производная , то

.

Доказательство. Положим

.

Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, получим, что

.

Поскольку

.

Возможность изменения порядка интегрирования легко обосновать, используя теоремы математического анализа о перемене порядка интегрирования в кратных интегралах.

Прежде, чем продолжать дальше доказательство, заметим, что для любой абсолютно интегрируемой функции

и при в силу леммы 1.

Если мы положим,

то из получим, что при

.

Если же положим

то из получим, что при

Абсолютная интегрируемость легко проверяется с помощью критерия интегрируемости, если заметить, что в силу нашего предположения о существовании производной функция имеет предел при и, следовательно, ограничена в некоторой окрестности точки .

Из соотношений,, мы получаем, что при

.

Остается заметит, что при

,

и при

,

причем несобственный интеграл по всей оси сходится и равен .

Следствие. Если выполнены условия теоремы и, кроме того, функция абсолютно интегрируема, то

Формула дает решение задачи обобщения преобразования Фурье. В связи с этим для абсолютно интегрируемой функции функцию

называется обратным преобразованием Фурье от .

Легко видеть, что

1.1.5. Преобразование Фурье в пространстве .

Дадим определение пространства , которое играет важную роль в ряде вопросов теории обобщенных функций. Функция будем называть бесконечно дифференцируемой, если при всех существуют производные порядков . Так как из существования производной вытекает непрерывность функции , считая, что по определению .

Совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций обозначается через

Определение. Совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций , которые для всех удовлетворяют неравенствам

,

где -постоянные, зависящие от функции , образует линейное пространство .

Оценки показывают, что пространство , состоит из бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечнсти вместе со всеми производными быстрее любой отрицательной степени .

Заметим, что вместо системы оценок можно пользоваться эквивалентной системой

где - некоторые другие постоянные, зависящие от выбора функции . Действительно, разлагая другие постоянные по формуле бинома на сумму одночленов, получим, что левая часть в есть сумма членов, каждый из которых в силу неравенства ограничен. Тем самым доказано, что из следует, что для всех

,

а функция интегрируема.

Наконец, если , то все функции тоже принадлежат . Отсюда, в частности, следует, что все функции тоже абсолютно интегрируемы.

Теорема. Преобразование Фурье взаимно однозначно отображает пространство на все .

Доказательство.

Так как для любой все функции тоже принадлежат и, следовательно, абсолютно суммируемы, то в силу свойств преобразования Фурье, функция бесконечно дифференцируема. Покажем, что . Для этого достаточно доказать, что все функции ограничены, но это вытекает из того, что в силу формул и.

,

а функция тоже принадлежит , и следовательно, абсолютно интегрируема.

Остается вспомнить, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции ограничено.

Итак, если , то и . Обратное, пусть дана функция , покажем, что она является преобразованием Фурье некоторой функции . Положим, что .

Функция есть прямое преобразование Фурье функции и поэтому принадлежит . Но тогда, очевидно, и . По формуле обращения

поэтому есть преобразование Фурье функции .

Итак, мы проверили, преобразование Фурье отображает пространство на все .

Это отображение взаимно однозначно, поскольку сама функция однозначно восстанавливается по с помощью формулы оращения.

Теорема доказана.

В пространстве можно ввести понятие сходимости последовательности.

Определение. Будем говорить, что последовательность функций из сходится в пространстве к функции при , если равномерно для всех и существуют такие константы , не зависящие от и от всех

.

Теорема 2. Если в , то и в .

Доказательство. Будем опять использовать формулу. Из оценок следует, что при некоторых выполнены неравенства

поэтому из получаем, что

.

Остается доказать, что равномерно для любых .

Так как

,

то достаточно проверить, что для любого

при

Из следует, что

,

потому для любого можно найти такое , что , следовательно для любой

.

Так как равномерно, то , потому существует такое , что для всех

но тогда . Тем самым доказано.

Утверждение теоремы 2 означает, что преобразование Фурье непрерывно отображает пространство в (отображение непрерывно, если оно всякую сходящуюся последовательность переводит в сходящуюся). Очевидно, что обратное преобразование Фурье тоже обладает этим свойством, поскольку оно связано с прямым преобразованием Фурье формулой.

Поиск по сайту: