Определение преобразования Фурье

Введение

В работе исседовано уравнение

, (1)

где ,

-постоянные комплексные коэффициенты;

- параметр;

-весовая функция , удовлетворяющая условиям:

при ;

Работа состоит из трех папаграфов.

В первом параграфе приводятся основные понятия и опрделения, исседуемые в дальнейшем.

Во втором параграфе изучены пространства основных и обобщенных функций, весовое преобразование Фурье, весовые мультипликаторы.

В третьем параграфе рассматривается уравнение (1). Наряду с пространствами Соболева используются пространства Соболева-Слободецского.

Доказаны теоремы существования единственного решения при выполнении некоторого дополнительного условия.

Теорема 1. Пусть выполнено условие 1 и Тогда при любом существует единственное решение , для которых справедлива оценка:

.

Теорема 2 оценки производных решения.

Пусть .

Тогда при выполняются следующие оценки:

Мультипликаторы Фурье

Преобразование Фурье

Определение преобразования Фурье

Пусть на всех задана функция . принимающая комплексные значения , где и - функции с вещественными значениями. Для любого отрезка интеграл от определяется по формуле:

Таким образом, интегрируемость функции по равносильна одновременной интегрируемости по этому отрезку функций и . Аналогично определяются и несобственные интегралы от функций с комплексными знамениями.

Определение. Функция называется абсолютно интегрируемой, если она интегрируема на любом конечном отрезке и

,

то есть несобственный интеграл от по всей оси сходится.

Будем обозначать - несобственный интеграл по всей оси.

Определение. Преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой функции называется функция переменной , которая определяется по формуле [1]:

Пример. Вычислим преобразование Фурье функции

Если в вместо подставить , то получим:

Для любого комплексного числа справедлива формула Эйлера:

.

Используя формулы Эйлера, легко убедиться, что функция при всех и стремится к нулю при .

Поскольку при любых вещественных значениях x и

,

то для любой абсолютно интегрируемой функции интеграл в сходится при всех и

, где .

Таким образом, функция определена при вещественных значениях и ограничена.

1.1.2. Лемма 1. Преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой функции является непрерывной ограниченной и стремится к нулю при .

Доказательство. Прежде всего заметим, что утверждение выполнено для любых ступенчатых функций. Действительно, функция называется ступенчатой, если вне некоторого отрезка и существует такое разбиение отрезка , что на каждом интервале функция постоянна.

В таком случае , где - значение функций на интервале , а для отдельных слагаемых этой суммы утверждение леммы уже проверили выше.

Для любой абсолютно интегрируемой функции можно найти такую последовательность ступенчатых функций, что

.

Действительно, достаточно показать, что для любого можно найти такую ступенчатую функцию,

Поскольку интеграл от по всей оси сходится, то существуют такие , что

Так как предполагаем, что интегрируема по Риману на , то в силу критерия отрезка , что

Чтобы построить ступенчатую функцию , для некоторой выполняется. Теперь достаточно положить все отрезка и при , где - некоторая фиксированная точка из . При этом не имеет существенного значения как именно определяется в самих точках .

После того, как последовательность , ступенчатых функций, удовлетворяющих для доказательства утверждения леммы остается заметить, что последовательность равномерно сходится к , поскольку , и воспользоваться свойствами равномерно сходящихся последовательностей.

Поиск по сайту: