Теорема существования и единственности решения дифференционального уравнения с переменными коэффициентами

Постановка задачи

В полосе рассматривается задача:

где

-постоянные комплексные коэффициенты;

- параметр;

-весовая функция

при ;

Исследуется разрешимость уравнения

Решим задачу

где область оператора :

Пространство , где -целое, -весовое пространство Соболева, в котором содержатся функции , для которых конечна норма:

при

Условие 1. Существует такое, что при всех и .

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения с переменными коэффициентами.

Теорема. Пусть выполнено условие 1 и . Тогда при любом существует единственное решение , для которых справедлива оценка:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию:

.

Видно, что для любого :

.

Из условия 1 вытекает, что:

при .

Действительно, из равенства:

, т.е. и

что противоречит условию.

Учитывая и, и полагая

,

получим оценку:

На основании этой оценки можно убедиться, что функция:

является мультипликатором типа в пространстве .

Применение теоремы о мультипликаторах дает оценку с константой .

Теорема оценки производных решения.

Теорема. Пусть . Тогда при выполняются следующие оценки:

Доказательство. Уравнение продифференцируем по . Получим:

.

Учитывая, что:

,

где , зависит лишь от функции и её производных до порядка получим:

.

Обозначим через:

Пусть . Тогда при из леммы 1 следует

Используем неравенство:

,

и с помощью леммы 1 устанавливаем оценку

Дважды продифференцируем по исходное уравнение с оператором . Получим

Учитывая, что:

,

где , зависит лишь от функции и её производных до порядка получим:

Обозначим через:

Пусть . Тогда из леммы 1 следует:

Используем неравенство:

,

Из теоремы 1 следует

Из неравенства,, а так же неравенств:

справедливо при всех достаточно больших , выводим оценку:

Литература

1. ВВС. Уравнения математической физики// В.С Владимиров -. М.Физматлит, 2003. – 286 с.

2. М.Тейлор. Псевдодифференциальные операторы, Москва «Мир» 1985, 490 с.

3. Глушко В.П. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка в пространствах, операторы, граничные задачи // В.П.Глушко, Ю.Б.Савченко, Итоги науки и техники, ВИНИТИ-М 1985,-т.23,-с. 125-218

4. Савченко Ю.Б. Весовые мультипликаторы в пространствах Гёльдера//Ю.Б. Савченко, С.А. Ткачёва. – Труды ВВМШ Понтрягинские чтения – ХХI, Воронеж 2010. – с.89-92.

Поиск по сайту: