Теорема Лагранжа

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Индивидуальные задания

Пермь 2007

Вариант решения заданий

I. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции

Решение:

1. Придаем аргументу произвольное приращение и, подставляя в данное выражение функции вместо наращенное значение , находим наращенное значение функции

В данном случае

1. Находим приращение функции

1. Делим приращение функции на приращение аргумента, т. е. составим отношение

1. Ищем предел этого отношения при . Этот предел и даст искомую производную от функции ;

II. Производная сложной функции

Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

Найти производные следующих функций:

Решение:

III. а) Производная неявной функции

Найти для данной неявной функции

Решение:

Дифференцируем по обе части равенства, где есть функция от , получим .

Учитывая, что , получаем

б) Логарифмическое дифференцирование

Логарифмическое дифференцирование полезно применять для нахождения производной от показательно - степенной функции , где - функции от и когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня).

Найти производные следующих функций:

Решение:

Применяется логарифмическое дифференцирование, последовательно находим:

в) Производная от функции, заданной параметрически

Производная

Найти производную для функции, заданной параметрически

Решение:

Найдем . Следовательно,

IV. Показать, что функция обращает уравнение в тождество.

Решение:

Выразим в явном виде . Найдем

Подставляем и в левую часть уравнения, получаем

Подставляем в правую часть равенства, получаем

, что и требовалось доказать.

V. Производные высших порядков

а) Производная явной функции

Решение:

Дифференцируя функцию , получим .

Дифференцируя производную , получим

б) Производная неявной функции

Для данной неявной функции найти .

Решение:

Дифференцируем по обе части равенства, где есть функция от , получаем

Отсюда найдем .

Найдем :

Подставляем в левую часть найденную производную , получаем:

.

Учитывая, что , получим или

VI. Производная от функции, заданной параметрически

Для функции, заданной параметрически, найти .

Решение:

Находим производные по параметру .

Далее находим производную от , а затем искомую вторую производную от как отношение производных от и от .

1. Касательная и нормаль к кривой

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат, то уравнение касательной и нормали к ней в точке имеют вид:

, где - значение в точке производной из уравнения кривой.

Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу в точке, где .

Решение:

При , , получаем точку

Найдем

При , получаем .

Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

1. Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля

Если функция :

1. непрерывна на отрезке [ a, b ]
2. имеет конечную производную в каждой точке интервала (a, b)
3. принимает равные значения на концах отрезка, , то в интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль: .

Функция на концах отрезка [0, 4] принимает равные значения .

Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0, 4]?

Решение:

Найдем . При , не существует. Нарушено второе условие теоремы Ролля.

Теорема Лагранжа.

Если функция :

1. непрерывна на отрезке [ a, b ]
2. имеет конечную производную в каждой точке интервала (a, b), то найдется по крайней мере одна внутренняя точка с интервала (a, b), , для которой .

Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функции и найти соответствующее промежуточное значение с.

Решение:

Функция непрерывна и дифференцируема для всех значений , причем . Отсюда по формулам Лагранжа имеем

Следовательно, ; годится только значение , для которого справедливо неравенство .

Теорема Коши.

Пусть функции удовлетворяют следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке [ a, b ]
2. имеют конечные производные во всех точках интервала (a, b)
3. для любого , то внутри отрезка [ a, b ] найдется такая точка , , что

Проверить справедливость формулы Коши для функций на отрезке [1; 2].

Решение:

Функции непрерывны и дифференцируемы при всех значениях . Производные данных функций равны соответственно . На отрезке [1, 2], .

Тогда между двумя значениями и существует значение , удовлетворяющее равенству

.

Вариант 1

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции

2. Найти производную сложной функции

3. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции : первая в точке с абсциссой , вторая с абсциссой

7. Будет ли выполняться теорема Ролля для функции на отрезке [0, 8]. Если да, то найти соответствующее значение x.

Вариант 2

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению
2. Найти

а) в)

б)

1. К параболе в точке на ней с абсциссой проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью X.

7. Записав формулу Лагранжа для функции на отрезке [0, 1], найти на интервале (0, 1) соответствующее значение x.

Вариант 3

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а)

б) в)

1. Найдите координаты точки пересечения двух касательных, проведенных к графику функции : первая в точке на графике с абсциссой , а вторая в точке с абсциссой .
2. Записав формулу Коши для функций и на отрезке [0, 2], найти соответствующее значение x.

Вариант 4

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

1. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точках пересечения с прямой .
2. Функция имеет на концах отрезка [-1, 1] равные значения (проверьте!). Ее производная равна нулю только в двух точках (проверьте!), расположенных за пределами этого отрезка. Какова причина нарушения заключения теоремы Ролля?

Вариант 5

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

1. В какой точке касательная к параболе параллельна прямой ?
2. Удовлетворяет ли функция условиям теоремы Лагранжа на отрезке [-2, 0]?Если да, найти соответствующее значение x.

Вариант 6

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. Найти точки, в которых касательные к кривой параллельны оси абсцисс.

7. Проверить, что функции удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрезке [1, 4] и найти соответствующее значение x.

Вариант 7

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. Написать уравнения касательной и нормали в точке (2, 2) к кривой

7. Дана функция . Пусть . Тогда . Однако производная не обращается в нуль ни в одной точке интервала (0,16). Противоречит ли это теореме Ролля?

Вариант 8

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке (1, 2).

7. Удовлетворяют ли функции условиям теоремы Коши на отрезке [-3, 3].

Вариант 9

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. В какой точке кривой касательная перпендикулярна к прямой .

7. Проверить, применима ли теорема Лагранжа к функции на отрезке [0, 1]. Если да, найти соответствующее значение x.

Вариант 10

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе , проведенная в точке с ординатой ? Написать уравнения этой касательной и нормали.

1. Для функций проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке [ ] и найти соответствующее x.

Вариант 11

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. На кривой найти точки, в которых касательная перпендикулярна к прямой .

7.Проверить, что между корнями функции находится корень ее производной. Пояснить графически.

Вариант 12

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. Найти угловой коэффициент касательной к кривой в точке М(2,-1).

7. Проверить, применима ли теорема Лагранжа к функции на отрезке .

Вариант 13

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

6. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке М(-2, 3).

1. Для функций проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1, 2] и найти соответствующее значение x.

Вариант 14

1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции
2. Найти производную сложной функции

1. Найти

4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

5. Найти

а) в)

б)

1. В точках пересечения прямой и параболы проведены нормали к параболе. Написать уравнения этих нормалей.

7. Функция принимает равные значения на концах отрезка [-а, а]. Убедиться в том, что производная от этой функции нигде в интервале (-а, а) в нуль не обращается, и объяснить такое уклонение от теоремы Ролля.

Поиск по сайту: