Практическая часть. Задание 2. Проанализировать ряд данных с помощью гистограммы и рассчитать числовые характеристики закона распределения: начальные и центральные моменты

Задание 2. Проанализировать ряд данных с помощью гистограммы и рассчитать числовые характеристики закона распределения: начальные и центральные моменты, мода, медиана, квартили, децили, перцентили и др. Для нормального закона распределения рассчитать вероятность выхода за пределы допуска с помощью таблиц и функций Гаусса и Лапласа 2011г ФРТ:Русский язык

В данном задании необходимо исследовать данные результатов ЕГЭ по русскому языку абитуриентов, поступающих на все специальности ФРТ с помощью гистограммы, рассчитать числовые характеристики закона распределения. Для нормального закона распределения рассчитать вероятность выхода за пределы допуска с помощью таблиц и функций Гаусса и Лапласа.

В таблице 3 представлены значения по русскому языку 2011 г ФРТ

Для решения поставленной задачи в первую очередь необходимо отобрать данные (результаты) по русскому языку соответствующих специальностей ФРТ.

В нашем случае это

140400- Электроэнергетика и электротехника

210400- Радиотехника

210700 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи

240100 – Химическая технология

Просмотрев все результаты, была составлена таблица 8 с данными. В данной таблице отображено количество человек, прошедших по первому приоритету на факультет радиотехники и телекоммуникаций.

В нашей таблице используются сокращения:

Л-лица, имеющие льготы при поступлении;

Ц(ОПК)-Лица, поступающие на места, выделенные для целевого приема на подготовку специалистов с высшим

профессиональным образованием по направлениям предприятий оборонно промышленного комплекса

Ц-Лица поступающие на места, выделенные для целевого приема по договорам с органами государственной власти

или местного самоуправления

Л.У - Лица, успешно прошедшие вступительные испыта Таблица 8 -значения результатов ЕГЭ по русскому языку 2011

Таблица 8 –Данные результатов ЕГЭ по русскому языку абитуриентов, поступающих на факультет радиотехники и телекоммуникаций.

Продолжение таблицы 8

Продолжение таблицы 8

Продолжение таблицы 8

Продолжение таблицы 8

Продолжение таблицы 8

Конец таблицы 8

Количество наблюдений n=340. По данным наблюдениям можно увидеть, что на специальность 140400 по первому приоритету поступило 53 человека, на 210400 поступило 166 человек, на 210700 97 и на 240100 24 человека.

Максимальные и минимальные результаты баллов по русскому языку составляют:

x_max=98; x_min=36.

Рассчитаем число интервалов и их ширину:

m=1+3,322lg340=9,4(округлим m = 9), k=(98-36)/9=6,88

По имеющимся исходным данным построим гистограмму и кумуляту. Они представлены на рисунках 3 и 4 соответственно. По оси X – баллы, по оси Y – количество

Гистограмма показывает частоту попаданий числа абитуриентов в заданный балловый интервал.

Рисунок 3-Гистограмма, показывающая какое количество абитуриентов, попадает в данный балловый интервал

Из построенной гистограммы видно, что наибольшая часть абитуриентов набрали баллы по ЕГЭ

по русскому языку в интервале от 57 до 70 баллов и показали средний уровень подготовки к экзамену. Но для более конкретного вывода вычислим статистические показатели с помощью специальной программы STATISTICA.

Статистические показатели распределения случайной величины:

1 Выборочное среднее = 64,443 баллов;

2 Начальный момент=0,8891 баллов;

3 Центральный момент=0,551 баллов;

4 Медиана =65 баллов;

5 Мода = 66 баллов;

6 Вариационный размах R=62 баллов;

7 Дисперсия S²=117;

8 Среднеквадратическое отклонение S=11;

9 Коэффициент вариации =(11/64,44)*100%=17%;

10 Квартили q1=51 q2=71;

11 Перцентили П1=50; П2=79;

12 Эксцесс Ех = 0,509124;

13 Асимметрия As=0,437730

С помощью критерия асиметрии и эксцесса можно проверить гипотезу : случайная величина имеет распределение, отличное от нормального. Если распределение нормально, то его коэффициент ассиметрии и коэффициент эксцесса . Так как значения и могут иметь место и для распределений, отличных от нормального, то этот критерий следует воспринимать как критерий установления отклонения от нормальности распределения, но не установления нормальности.

Квартили представляют собой значения, которые делят две половины выборки (разбитые медианой) еще раз пополам (от слова кварта - четверть).

Нижнюю квартиль часто обозначают символом 25%, это означает, что 25% значений переменной меньше нижней квартили.

Верхнюю квартиль часто обозначают символом 75%, это означает, что 75% значений переменной меньше верхней квартили.

Следовательно, у четверти абитуриентов стаж менее 51 балла лет и у четверти – более 71 балла.

Дециль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Перцентиль на уровне р - значение t p, меньше которого p 100%элементов выборки.

Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее:

Следовательно, значение ассиметрии составляет As=0,437730, а значит, она попадает в промежуток 0,5<As<0,25, отсюда следует, что ассиметрия считается умеренной.

Эксцесс является показателем островершинности распределения.

При симметричных распределениях Ех=0. если Ех>0, то распределение относится к островершинным, если Ех<0 – к плосковершинным.

Значение Ех= 0,509124, следовательно Ex>0 это значит, что распределение относится к отстровершинным.

Вероятность выхода за пределы допуска с помощью таблиц и функций Гаусса и Лапласа.

Рисунок 4- Гистограмма значений по русскому языку с учетом использования функции Лапласа 2011 г

Анализ функции Лапласа показывает, что вероятность нахождения случайной величины Х в поле допуска тем выше, чем шире граница интервала (К) и меньше дисперсия S².

По результатам расчета и построенным графикам видно, что большинство абитуриентов показало средний уровень подготовки к ЕГЭ по русскому языку в 2011 году. Распределение результатов экзамена приближается к нормальному. Так как >0,то имеет место положительная (правосторонняя) асимметрия формы распределения. >0:полигон вариационного ряда имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой.

Библиография

1 Годин А.М. Статистика: Учебник. – 2-е изд., перераб. – М.: Издательско- торговая корпорация «Дашков и К°», 2003. – 472с

2 Глудкин О.Л., Горбунов М.М., Гуров А.И., Зорин Ю.В..Всеобщее управление качеством. М.: Радио и связь. - 1999

3 Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов.-М.: ЮНИТИ-ДАТА, 2003.-543с.

4 Пономарев С. В., Мищенко С. В., Белобрагин B. Я., Самородов В. А., Герасимов Б. И., Трофимов А. В., Пахомова C. А., Пономарева О. С.. Управление качеством продукции. Инструменты и методы менеджмента качества: учебное — М.: РИА «Стандарты и качество». - 2005. - 248 с, ил.

Поиск по сайту: