Решение системы методом Гаусса

Используя элементарные преобразования систем, сведем данную систему к специальному виду:

1 шаг – преобразуем систему так, чтобы все коэффициенты при были равны 1, для этого второе уравнение делим на 2, третье на 3:

2 шаг – вычтем первое уравнение из второго и третьего:

3 шаг – делим второе уравнение на и третье на :

4 шаг – второе уравнение вычтем из третьего:

5 шаг – из третьего уравнения находим х ₃, и подставляем во второе:

6 шаг – значения х ₃ и х ₂ подставляем в первое уравнение и находим х ₁, .

Ответ: .

Задание 4: (Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии)

S (1;1;2) A (2;3;-1) B (2;-2;4) C (-1;1;3)

1 Используя формулы

и

, получим

2 Используем уравнения через две точки:

Т.к. координаты точек А; В; С известны, получим АВ,

Обозначим – параметрические уравнения стороны АВ.

АС:

– уравнение стороны АС

ВС: , – уравнение стороны ВС.

3 Для определение угла А, применим формулу

, получим

;

ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ;

;

.

4. Для составления уравнения плоскости r АВС, применим уравнения плоскости, проходящей через три данные точки А (2;3;-1) В (2;-2;4) С (-1;1;3).

, подставив координаты точек, получим

, разлагаем по элементам первого строчки

уравнение плоскости r АВС.

5. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

, где А; В; С – координаты нормали плоскости треугольника АВС, т.е , m; n; p – координаты направляющего вектора, прямая перпендикулярная плоскости r АВС, значит , тогда

, значит

m = 2; n = 3; p = 3. Высота проходит через вершину S (1;1;2), уравнения прямой, проходящей через точку:

,

Зная m; n; p получим

– уравнение высоты.

1. Исходя из геометрического смысла векторного произведения, имеем

.

Найдем вектора, на которых построен треугольник АВС,

Составим векторное произведение:

, разложим по элементам первой строки (см. 4)

(ед).

(ед²).

2. Введем в рассмотрение векторы:

(см. 1)

Объем пирамиды, построенной на векторах , равен

,

(ед³)

3. Т.к. , то

(ед³) ед²), тогда

(ед).

Задание 5: (Л инейное программирование) Фирма выпускает два вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для приготовления мороженого используются два продукта: молоко и наполнители. Расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы даны в таблице:

Изучения рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженное превышает спрос на шоколадное не более, чем на 100 кг, спрос на шоколадное не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного – 16 ед, шоколадного – 14 ед. Определить количество сливочного и шоколадного мороженного, которое должна производить фирма чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение:

1. Формализация задачи;

2. Составление математической модели;

3. Решение математической модели;

4. Совершенствование математической модели, т.е. анализ математической модели и ее модернизация.

1. Формализация задачи.

Обозначим: х₁ – суточный объем выпуска сливочного мороженого, х₂ – шоколадного.

Целевая функция .

Ограничения:

2. Математическая модель.

Найти максимум функции в области рений системы ограничений:

(*)

3.

Область допустимых решений многоугольник OABDEF. Строим вектор , используя функцию Þ .

Строим линию уровня , . Перемещаем в направлении вектора , до положения опорной прямой, в данной задаче опорная прямая проходит через точку D.

Находим координаты точки D или по чертежу, или решая систему уравнений:

D (312,5; 300) – оптимальное решение, т.е. при этом .

Т.о. максимальный доход от реализации продукции составляет 9200 ед. в сутки при выпуске 312,5 кг сливочного и 300 кг шоколадного мороженного.

Задание 6: Выполните действия и результат изобразите геометрически.

Решение: Сначала найдем тригонометрическую форму числа , определим модуль числа z, ;

Þ

Применив формулу:

получим

или

Выполните действия:

Умножим числитель и знаменатель дроби, на число, сопряженное знаменателю:

Рассмотрим извлечение корня:

Число представим в тригонометрической форме. Модуль числа равен

Аргумент ; Þ .

Тригонометрическая форма

Для вычисления используем формулу:

Т.о.

s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>)</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Получим три различных значения корня:

Задание 7: Установить точки разрыва функции

.

Решение: Данная функция является дробно-рациональной и поэтому она непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля. В точках х ₁= 2; х ₂ =-2 функция не определена. Рассмотрим односторонние пределы функции в этих точках:

Следовательно, х = 2, х = -2 точки разрыва второго рода.

Установим наличие асимптот. График функции имеет вертикальные асимптоты х = 2, х = -2, т.к.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где

Найдем k

Т.о. уравнение наклонной асимптоты y =0. Асимптоту y =0 – называют горизонтальной.

Задание 8: Построить плоские фигуры, ограниченные линиями.

.

Решение: – парабола, ось симметрии параллельна оси ОУ, ветви направлены вверх. Найдем точки пересечения с осью ОХ, т.е решим уравнение:

Þ

– прямая, биссектриса второго и четвертого координатных углов. Найдем точки пересечения параболы и прямой, т.е. решение уравнения:

Þ

Þ

Т.о. точки пересечения параболы и прямой A (0;0), B (3;-3)

Задание 9: Построить график функции

Решение: Область определения f (x) состоит из трех промежутков:

(-¥; -2], в этом промежутке f (x) = 0

(-2; 0], в этом промежутке f (x) =

(0; +¥], в этом промежутке f (x) = 1.

Задание 10: (Дифференцирование функций) Найдите , если .

Решение: Применяя правило, дифференцирования дроби

И также формулы и , находим

или ;

Найти если .

Применяя правило дифференцирования произведения и формулы получим

.

Найти если .

Применяя правило дифференцирования сложной функции:

А также формулы , получим

.

Задание 11: Исследовать функцию и построить график

Решение: Находим область определения , точка х =2 не входит в область определения. Найдем односторонние пределы функции:

Т.о. х =2 точка разрыва второго рода, а уравнение х =2, есть уравнение вертикальной асимптоты. Составим уравнение наклонной асимптоты , где

;

Т.о. уравнение наклонной асимптоты

Исследовать на возрастание, убывание и экстремумы.

.

Найдем критические точки

Þ . Значит действительных корней нет. Знак совпадает со знаком коэффициента при х ² в данном случае коэффициент при х ² равен 1>0, значит при любых . y возрастает на всей . не существует, если знаменателем равен 0, т.е. , эта точка не входит в Þ функция не имеет экстремумов.

Найдем точки перегиба

Задание 12: Исследовать функцию двух переменных на экстремумы

Решение: Частные производные первого порядка:

Приравнивая эти производные к нулю, получим систему уравнений:

,

решая систему найдем стационарные точки. Складывая уравнения, получим:

, подставим в первое уравнение системы:

, тогда

, т.о.

имеем три стационарные точки P ₁(0;0), P ₂(), P ₃().

Проверим эти точки на экстремумы с помощью достаточных условий. Для этого сначала найдем частные производные второе порядка:

Подставляя координаты стационарных точек получим в точке P ₁(0;0): .

Составим выражение

.

Ответа нет, нужно дополнительное исследование.

В точке P ₂(:

экстремум есть, т.к. А > 0, C > 0 в точке P ₂ минимум.

.

В точке P ₃(): .

; А > 0, C > 0 в точке P ₃ минимум. .

Задание 13: (Численное дифференцирование) Для функции f (x), заданной таблицей, вычислить значение этой функции и ее первой производной в указанной точке х = х ₀, составив интерполяционный многочлен Лагранжа.

х ₀ = 2,5

Решение:

1. Составим вспомогательный многочлен:

2. Найдем

Найдем значения в узлах интерполяции

; ; .

3. Составим многочлен Лагранжа по формуле:

;

; в любой точке

Производная по направлению, градиент , найти в направлении вектора , М ₀ (1;1;2), М (3;4;0), и grad u в точке М _0.

Найдем частные производные и их значения в точке М ₀:

.

Составим вектор ;

; ; ,

grad u =

grad u = –

Задание 14: Вычисление интегралов

Решение: Используя свойства интеграла и формулу получим

, использовали формулу

.

Задание 15: Найти площадь плоской фигуры. Фигура ограничена линиями:

.

Решение: Сделаем чертеж:

– прямая,

– парабола, ветви направлены вниз, ось симметрии х = 1.

Парабола пересекает ось ОХ в точках, которые получим, решив уравнение

Найдем координаты точки В решив систему уравнений:

, получим

B (3;-3).

Искомая площадь состоит из двух частей, – криволинейная трапеция .

(ед ²)

Задание 16: (Численное интегрирование) Вычислить данный определенный интеграл по:

Ø формуле Ньютона- Лейбница;

Ø формулам прямоугольников;

Ø формуле трапеций.

Решение: По формуле трапеций отрезок интегрирования разбиваем на 10 частей:

; [1;2] a = 1; b = 2.

.

Расчет вести с тремя знаками после запятой. Составим таблицу [1;2] разбиваем на 10 равных частей:

хk			yk
x0 = 1 x1 = 1,1 x2 = 1,2 x3 = 1,3 x4 = 1,4 x5 = 1,5 x6 = 1,6 x7 = 1,7 x8 = 1,8 x9 = 1,9 x10 = 2,0	у0 = 1,000   у2 = 0,833   у4 = 0,714   у6 = 0,625   у8 = 0,556   у10 = 0,500	у1 = 0,909   у3 = 0,769   у5 = 0,667   у7 = 0,588   у9 = 0,526	у0 = 1,000 у1 = 0,909 у2 = 0,833 у3 = 0,769 у4 = 0,714 у5 = 0,667 у6 = 0,625 у7 = 0,58 у8 = 0,556 у9 = 0,526 у10 = 0,500
å	4,228	2,959	7,687

По формуле Ньютона- Лейбница:

ln x

По формулам прямоугольников:

По формулам трапеций:

Формула трапеций дает более точный результат, ошибка

.

Т.о. формула трапеций дает результат с точностью до 0,001.

Задание 17: Решить дифференциальные уравнения:

1. – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решение: решение будем искать в виде , тогда , подставив y и y ^’ в уравнение, получим:

, положим , тогда .

Решение данного уравнения свелось к решению системы двух уравнений с разделяющимися переменными:

Решаем первое уравнение системы: , заменим на

, разделяем переменные

,

Проинтегрируем обе части уравнения:

, отсюда ,

полученное решение подставим во второе уравнение системы:

, преобразуем , отсюда , интегрируя получим , находим общее решение ,

.

2. , – однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:

,

Корни его:

;

; ;

действительные разные, поэтому

, .

Общее решение данного уравнения:

.

– составляем характеристическое уравнение , находим его корни

> ; > , корни комплексно-сопряженные, поэтому

Общее решение данного уравнения:

или

), где

; ;

Задание 18: (Нахождение изображения по оригиналу) Найти изображение функции:

1.

Решение: Используя таблицу оригиналов и изображений, получим

Использовали формулы:

.

2.

.

Задание 19: Нахождение оригинала по изображению:

1.

Решение: преобразуем изображение

, тогда

используя таблицу оригиналов и изображений, получим:

2.

преобразуем F (p), выделив полный квадрат в знаменателе

, тогда

или > , тогда

.

3.

Разложим знаменатель на множители

,

где р = –2 и р = –3 корни многочлена , дроби принимают вид

применим теорему разложения

;

.

Корни знаменателя р ₁ =0, р ₂ = –2, р ₃ = -3 – простые действительны.

Составим таблицу:

Рk	F1 (pk)	F2’ (pk)
Р1 = 0 Р2 = –2 Р3 = –3	– –2	–2

Найдем оригинал по формуле:

, т.е

,

+ , т.о.

.

Задание 20: Решить дифференциальное уравнение операторным методом

,

Решение: Пусть искомая функция y (t) имеет изображение , тогда используя свойства преобразования Лапласа, получим

.

Составим вспомогательное уравнение, заменив и t их изображениями:

, откуда

,

т.к. – изображение искомого решения .

Чтобы найти разложим дробь на простейшие:

В правой части приведем к общему знаменателю:

Приравниваем числители:

Чтобы найти А, В, С, D придавая р различные значения, будем получать:

p = 0 1 =2 B Þ B

p = –1 1 = C Þ C

p = –2 1 =-4 D Þ D

p = 1 или

отсюда А .

Т.о.

Тогда используя таблицу оригиналов и изображений, получим:

Задание 21: (Численное решение дифференциальных уравнений (метод Эйлера)) Найти приближенное, при х =1, значения решения уравнения

Удовлетворяющего начальному условию при х₀ =0, y₀ = 1.

Решение: Разделим отрезок [0;1] на 10 равных частей, h = 0,1; значения y ₁, y ₂, …, y _n будем искать по формуле или

, т.о.

т.о.

=1,22 и т.д.

В процессе решения составляем таблицу:

Поиск по сайту: