ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕННИЯ ЗАДАНИЙ

Задание 1: Вычислить определитель

Решение: Умножим третью строку на -1 и прибавим к четвертой:

разлогая полученный определитель по элементам четвертой строки, мы должны умножить ее элементы на соответствующие алгебраические дополнения. Но так как три элемента из 4-х равны 0, то из всей суммы останется лишь второе слагаемое:

, минор получен вычеркиванием 4-ой строки и 2-го столбца в пересечении которых расположен элемент 2≠0. Алгебраическое дополнение этого элемента равно минору .

Умножим на и на сам элемент 2, т.е.

Определитель третьего порядка:

, вычислен по правилу треугольника.

Задание 2: Даны две матрицы А и В. Найдите А × В; В× А; А × А ^-1, А ^-1 × А.

Решение: Умножив по очереди строки матрицы А на столбцы В, получим:

.

Аналогично находим произведение:

.

Чтобы найти А × А ^-1 и А ^-1 × А нужно сначала получить матрицу А ^-1 – обратную для матрицы А.

Находим определитель матрицы А,

, значит данная матрица невырожденная.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Составим вспомогательную матрицу

, .

Составим , заменив в матрице строки столбцами:

Cоставим А ^-1 по формуле

.

Вычислим произведения А × А ^-1 и А ^-1 × А.

.

Задание 3: (Решение системы линейных уравнений) Докажите, что данная система совместна, для этого составим две матрицы: основную А и расширенную матрицу В.

составлена из коэффициентов при неизвестных

расширенная матрица.

Находим ранг матрицы А и матрицы В, используя элементарные преобразования матриц.

Подвергнем матрицу А следующим элементарным преобразованиям: первую строку прибавим ко 2-ой, в результате получим матрицу:

в полученной матрице вторую строку умножим на (-1) и прибавим к 3-ей, получим

теперь первый столбец умножим на (-2) и прибавить ко 2-ому, затем 1-ый столбец умножим на (3) и прибавим к 3-ему

первую строку умножаем на (-3) и прибавляем ко 2-ой

третью строку умножаем на 5 и прибавляем ко 2-ой

второй столбец умножаем на , третий на получим матрицу

.

Следовательно ранг матрицы А равен 3, т.е. r (А) = 3.

r (А) = 3 (по количеству единиц по главной диагонали).

r (В) = 3.

Таким образом, т.к. r (А) = r (В), то система совместна, т.е имеет хотя бы одно решение.

В силу тог, что число неизвестных n = 3 и выполнения условия r (А) = r (В) = n, то решение будет единственное.

Поиск по сайту: