Классификация САУ

Системы автоматического управления (САУ) достаточно разнообразны, однако они поддаются четкой классификации по следующим признакам:

1. По виду уравнений статики и динамики, описывающих процессы управления: линейные и нелинейные.

2. По закону изменения входного сигнала x:

- системы автоматической стабилизации (x=const); примеры: САР частоты вращения дизеля; система автоматической стабилизации напряжения судовой сети САУ курсом судна в режиме "Автомат";

- системы программного управления (закон изменения x заранее известен); пример: САР стерилизации консервов в автоклаве;

- следящие системы (x изменяется по произвольному закону); пример: САУ курсом судна в режиме "Следящий".

3. По виду используемого регулятора:

- линейные, нелинейные, импульсные и цифровые САУ.

4. По общему алгоритму функционирования:

- обычные САУ; оптимальные и адаптивные САУ.

Принципы автоматического управления

Основополагающими понятиями САУ являются:

- структурная схема САУ и динамические характеристики звеньев САУ;

- состав и характеристики входных сигналов, которые подразделяются на сигналы управления и сигналы возмущения;

- совокупность показателей качества регулирования выходного сигнала.

Все многообразие САУ может быть сведено к 3-м элементарным схемам управления, называемыми также принципами управления: прямое управление, управление по возмущению, управление по отклонению.

1.2.1. Принцип прямого управления (рис.В.2)

САУ с прямым управлением содержит ОУ (на рис.В.2 под объектом управления понимается совокупность УМ+ИМ+РО+ОУ+ЧЭ из элементов рис.В.1) и регулятор. На ОУ и Рег действуют возмущающие сигналы g₁,…,g₆, изменяющие произвольным образом и которые ведут к непредсказуемым изменениям их выходных сигналов и и у. За выходным сигналом y следит человек-оператор, который вручную изменяет сигнал x так, чтобы достичь заданных значений сигнала y. Сигналы возмущения g₁..g₆ человеком не контролируются.

Данная САУ называется также САУ разомкнутого типа, чем подчеркивается то обстоятельство, что выходной сигнал у не используется техническими средствами автоматизации УМ, ИМ, РО, ОУ, ЧЭ и Рег в формировании сигнала задания х и управления объектом.

Достоинства: Предельная простота регулятора.

Недостатки: 1. Обязательное присутствие человека- оператора, который является наиболее ненадежным звеном САУ.

2. Малая точность регулирования, особенно в динамике, когда сигналы х, g₁,..., g₆ быстро изменяются.

3. Невысокое быстродействие, обусловленное медленной реакцией человека на изменения сигнала у.

Пример: Электропривод якорно-швартового устройства. Оператор с помощью соответствующих органов управления задаёт одну из фиксированных скоростей вращения двигателя. Сигналами возмущения g₁..g₆ являются: натяжение якорной цепи, напряжение питания электродвигателя, температура обмоток двигателя и др.

1.2.2. Принцип управления по возмущению (рис.В.3)

В САУ некоторые из сигналов возмущения, например g₁, g₄ и g₆, которые можно измерить и преобразовать в электрический сигнал (принимаем регулятор электрическим), заводятся на вход регулятора через сумматор См. Это приводит к такому изменению выходного сигнала регулятора u, при котором компенсируется действие на систему измеренных сигналов возмущения.

Достоинства: 1. Наивысшее быстродействие в сравнении быстродействием с другими типов САУ.

2. Выше точность регулирования в сравнении с прямым управлением.

3. Выше надежность регулирования, так как человек не участвует непосредственно в управлении объектом.

Недостатки: 1. Сложность выделения всех возмущений, действующих на элементы САУ.

2. Сложность их классификации на основные и второстепенные.

3. Сложность измерения и преобразования сигналов возмущения в электрический сигнал. Например, чрезвычайно сложной на практике является задача измерения механического момента в валах вращающихся механизмов.

Пример: САР напряжения генератора (система токового компаундирования). Регулируемый сигнал – напряжение на выводах генератора. Возмущающий сигнал – ток нагрузки генератора, который измеряется просто трансформатором тока.

1.2.3. Принцип управления по отклонению (рис.В.4)

Вводится цепь отрицательной обратной связи ООС и элемент сравнения ЭС, на котором вычитаются заданное значение x и фактическое значение y регулируемого сигнала. В ЭС формируется ошибка регулирования e. Регулятор Рег вырабатывает такой сигнал u, который уменьшает ошибку регулирования e.

Достоинства: 1. Нет необходимости в выяснении того, какие сигналы возмущения действуют на САУ, и, следовательно, не нужно их измерять.

2. Самая высокая точность регулирования в сравнении с другими схемами САУ.

Недостатки: Меньше в сравнении с управлением по возмущению быстродействие, т.к. регулирующий сигнал u начинает изменяться не в момент появления возмущений, а только после изменения y.

Примеры:

1. Авторулевой, удерживающий судно на заданном курсе с требуемой точностью в условиях волнения моря и других возмущающих сигналах.

2.Электропривод траловой лебедки, обеспечивающий требуемые усилия и скорость выборки трала в условиях переменной нагрузки на ваерах, волнения моря, действия течений.

3. Холодильная автоматика, обеспечивающая поддержание заданной температуры в камерах в условиях изменяющегося притока тепла.

Достоинства схемы управления по отклонению настолько велики, что САУ в подавляющем числе случаев выполняются работающими именно по этой схеме.

На практике применяют также комбинированные САУ, сочетающие регулирование как по возмущению (рис.В.3), так и по отклонению (рис.В.4), которые обладают достоинствами обоих типов САУ.

Вопросы и задания

1. Какой набор элементов входит типовую структурную схему САУ?

2. Приведите классификацию САУ.

3. Поясните принцип прямого управления в САУ разомкнутого типа. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.

4. Поясните принцип управления в САУ по возмущению. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.

5. Поясните принцип управления в САУ по отклонению. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.

1. ЛИНЕЙНЫЕ САУ

1.1. Линеаризация элементов САУ.

Преобразование Лапласа. Передаточные функции.

Типовые воздействия и реакция на них

Все элементы САУ (общее название элементов - звенья) выполняют преобразования входных сигналов в выходные. Эти преобразования описываются как алгебраическими, так и дифференциальными уравнениями.

Линейными называются САУ, все звенья которых описываются линейными дифференциальными и алгебраическими уравнениями.

Методы расчетов САУ базируются, в основном, на использовании свойств решений дифференциальных уравнений. Наиболее простыми и систематически проработанными являются методы решения линейных дифференциальных уравнений. Методы решения дифференциальных уравнений, применяемые в расчетах линейных САУ, используются также фрагментарно в расчётах нелинейных, импульсных и других типов САУ.

Если не накладывать ограничений на пределы изменения входных сигналов реальных, физических объектов, то в общем случае они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Например, линейные электронные усилители при больших уровнях входных сигналов входят в насыщение. В то же время физические объекты при малых изменениях входных сигналов практически не проявляют нелинейных свойств и, поэтому, могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями. Операция замены нелинейного дифференциального уравнения приближённым линейным дифференциальным уравнением называется линеаризацией.

1.1.1. Линеаризация дифференциальных уравнений

Основные этапы линеаризации (рис.1.1):

1. На графике нелинейной функции отмечается точка 0 начального режима. Обычно эта точка соответствует номинальному режиму работы звена.

2. В этой точке проводится касательная 3-4 и при малых отклонениях d истинная кривая 1-2 заменяется отрезком касательной прямой.

3. Вводится новая система координат - отклонения Dx и Dy. В этих координатах линеаризованное уравнение имеет вид

Δу=kΔx (1.1)

Для дальнейших расчетов важно также то, что начальные условия для линеаризованного уравнения являются нулевыми, т.е. при Δx=0 также и Δу=0.

Линеаризация участка 1-2 с помощью касательной не является единственно возможной, например, участок 1-2 можно заменить хордой или секущей. Однако вычисления линеаризованной кривой производятся наиболее просто с использованием касательной линии в точке 0 начального состояния.

Исходными данными для линеаризации является аналитическое выражение нелинейности, записанное в форме

Это уравнение в окрестности точки 0 может быть разложено в ряд Тейлора, и при малой указанной окрестности будет содержать только приращения первой степени:

(1.2)

Выражение (1.3) является линейным относительно входящих в него переменных и оно описывает плоскость, касательную в точке 0.

Рассмотрим более подробно технику линеаризации на числовом примере.

Дано: Дифференциальное уравнение (ДУ)

(1.3)

при начальных условиях: .

Задание: Линеаризовать (1.3), используя выражения (1.2).

Решение: Сначала, используя выражение и начальные условия (1.3), находим производные

а затем подобно (1.2) записываем линеаризованное дифференциальное уравнение

Далее в расчетах линейных САУ будем использовать только линейные ДУ и потому знак D будем опускать:

(1.4)

Уравнение (1.4) заменяет исходное нелинейное дифференциальное уравнение (1.3) в малой окрестности δ около точки начальных условий.

1.1.2. Формы записи линейных дифференциальных уравнений

Линейные ДУ могут быть записаны в естественной, символической и операторной формах.

Естественная форма:

(1.5)

Если производная имеет порядок не выше 2-го, то можно использовать верхние точки в обозначениях производных: .

Символическая форма:

Производная n -го порядка заменяется символом .

После замены уравнение (1.5) примет более простой вид:

(1.6)

Уравнение, записанное в такой форме, можно преобразовывать как алгебраическое. Однако решение уравнение не упрощается.

Операторная форма:

В основе операторной формы записи уравнения лежит преобразование Лапласа:

Если применить преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (1.5), то при рулевых начальных условиях для переменных х и у и их производных можно получить следующее операторное уравнение:

(1.7)

Следует обратить внимание формальное совпадение записей в символической (1.6) и операторной (1.7) формах. Однако смысл символа p в операторной и символической формах совершенно различен – если в первой форме p является символом, и вводится исключительно для упрощения записи уравнения, то во втором – это комплексная переменная р, введение которой влечет за собой простой подход к решению уравнения.

Операторная форма записи является основной формой, используемой в теории автоматического управления.

1.1.3. Передаточная функция

Учитывая то, что звенья описываются дифференциальными уравнениями, реальные сигналы заменяются их изображениями по Лапласу и дальнейшие расчеты ведутся в операторной форме.

Передаточная функция W(p)– это отношение изображений выходного y(p) и входного x(p) сигналов при нулевых начальных условиях:

(1.8)

1.1.4. Таблица преобразований Лапласа

В ТАУ подавляющее большинство задач решается с использованием передаточной функции W(p) и изображений х(р) от нескольких простейших функций x(t) (табл.1.1).

Таблица 1.1 - Таблица преобразований Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение x(p)	Название
	1	Дельта-импульс
1(t)		Единичный сигнал
t		Линейная функция
		Экспонента
		Затухающие гармонические функции
		Затухающие гармонические функции

1.1.5. Типовые воздействия и реакции на них

Методы ТАУ позволяют рассчитать реакцию на любое входное воздействие, однако систематизированные результаты, обладающие некоторыми закономерностями, можно получить для ограниченного ряда входных сигналов. В качестве типовых входных сигналов рассматривают те, которые чаще всего встречаются на практике, а также в некотором смысле являются наиболее сложными для отработки их САУ.

Реакция на единичный скачок 1(t) - переходной процесс h(t) (рис.1.2)

В электрических системах единичному скачку соответствует включение напряжения питания. Этот вид сигнала является для системы наиболее тяжелым для отработки. Если система отработает этот сигнал с заданными показателями качества, то наверняка будет качественно работать при других плавно изменяющихся сигналах.

Реакция на дельта-импульс d(t) - функция веса k(t) (рис.1.3)

Дельта-импульс d(t) имеет нулевую длительность, бесконечную амплитуду и единичную площадь (S=1). Дельта-импульсу соответствует помеха в электрических схемах и удар в механических системах. Математический аппарат и свойства функции веса широко используется в расчётах импульсных САУ.

Реакция на гармонический сигнал - частотные характеристики (рис.1.4)

Если на вход линейной системы воздействует гармонический сигнал с амплитудой X_m и фазой j_x, то на выходе будет сигнал той же частоты, однако другой амплитуды Y_m и фазы j_y.

Изменения амплитуды Y_m и фазы j_y выходного сигнала y(t) зависят от частоты w входного сигнала x(t). Эти зависимости определятся следующие частотные характеристики: АЧХ (амплитудно-частотную) и ФЧХ (фазо-частотную):

АЧХ: - коэффициент передачи (усиления) звена на данной частоте, равный отношению амплитуд сигналов;

ФЧХ: - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами.

Частотные характеристики очень просто находятся с использованием выражения передаточной функции W(p) (см. тему 1.3).

Вопросы и задания

1. Поясните смысл и необходимость линеаризации уравнений звеньев САУ.

2. Линеаризуйте произвольно заданное нелинейное дифференциальное уравнение.

3. Поясните распространенные в САУ формы записи дифференциальных уравнений. Как перейти от одной формы записи к другой?

4. Назовите типовые воздействия, принятые в САУ, и назовите реакции на них.

1.2. Методы расчета переходных процессов,

функции веса и построения графиков

переходных процессов

Понятие переходного процесса является одним из важнейших понятий ТАУ, и особенно теории линейных систем. Поэтому умение легко, практически автоматически, рассчитывать переходный процесс во многом определяет успех дальнейшего понимания ТАУ.

Как известно, передаточная функция звена – это отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного, которыми в частном случае могут быть переходный процесс h(p) и единичный сигнал 1(p)=1/p,

Из этого следует, что изображение переходного процесса

(1.9)

Аналогично для функции веса

и (1.10)

По свойству преобразования Лапласа, умножение изображения на p, соответствует первой производной от оригинала. Поэтому функция веса определяется также как производная от переходного процесса:

(1.11)

Заметим еще раз, что все функции комплексной переменной p - h(p), k(p) и т.д., являются изображениями соответствующих функций действительной переменной t - h(t), k(t) и т.д.

Примеры расчетов переходных процессов и функции веса

Далее расчёты переходного процесса, функции веса с построением их графиков выполним на числовых примерах.

Вид переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения, образуемого приравниванием к нулю либо многочлена знаменателя передаточной функции, либо сомножителя при у(р) в операторном уравнении.

I. Корни характеристического уравнения действительные.

Пусть задана передаточная функция САУ

Решение.

1. Раскладываем знаменатель на простейшие сомножители

Решаем относительно p характеристическое уравнение

Оно имеет следующие действительные корни:

Следовательно, характеристический многочлен можно разложить на множители следующим способом:

(1.12)

2. Определяем оригинал табличным способом

Представляем выражение h(p) в виде суммы простейших дробей, оригиналы для каждой из которых имеются в таблице 1.1:

(1.13)

Чтобы коэффициенты при степенях p в левой и правой частях равенства (1.13) были бы одинаковыми, необходимо:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p, получаем:

Решая, эту систему уравнений, получаем:

Окончательно получаем разложение h (p)на табличные выражения:

Перейдя согласно табл.1.1 от изображений к оригиналам, получим:

(1.14)

и для функции веса:

(1.15)

3. Строим графики переходного процесса и функции веса

Для построения графика надо определить время счета и шаг изменения времени.

Определение времени счета

Приводим выражение h (t) к стандартному виду, так что бы свободный член был равен 1:

(1.16)

На бесконечности значение h (t)стремится к установившемуся значению h_уст=3, так как обе экспоненты в выражении (1.16) обращаются в нуль.

Находим время переходного процесса для каждой из экспонент.

Переходный процесс считается завершенным, когда его график h (t) попадает в 5%-зону установившегося значения, и далее не выходит из нее. В представлении переходного процесса в виде (1.16) установившееся значение для выражения, заключённого в скобки, равно 1. Поэтому время t_пп1, в течение которого затухает 1-я экспонента, находится из уравнения

Аналогично находим время переходного процесса для 2-й экспоненты:

Время t_пп всего переходного процесса не равно ни t_пп1, ни t_пп2, но меньше большего из этих двух значений. Точное значение t_пп можно найти только из графика переходного процесса. Для аналитического его определения потребовалось бы решить трансцендентное уравнение, что невозможно.

Определение шага вычислений

Шаг вычислений Δt выбираем таким образом, чтобы объём вычислений был минимальный и достаточный для построения графика. Здесь используется практическое правило: для построения гладкого графика вручную достаточно иметь 5-10 точек графика, через которые затем "на глаз" проводится весь график.

Согласно оценке (1.17) времени t_пп1 для построения составляющей графика h (t), соответствующей 1-й экспоненте, шаг вычислений Δt₁ должен быть равен 0,32...0,64 с. Аналогично, основываясь на оценке t_пп2, находим Δt₂=0,04...0,08 с. Поэтому в интервале изменения t от 0 до 0,4 с вычисления ведём с шагом Δt₁=0,08 с, а далее до времени 3,2 с - с шагом Δt₂=0,4 с.

Функцию веса k (t) рассчитываем по выражению (1.15) при тех же значениях t, которые использовались при вычислении h (t).

Результаты вычислений сводятся в таблицу 1.2.

Таблица 1.2

t	0	0,08	0,16	0,24	0,32	0,4	0,8	1,2	1,6	2	2,4	2,8	3,2
h (t)	0													3
k (t)	1													0

По данным этой таблицы строятся графики h (t)и k (t) (рис.1.5).

II. Корни характеристического уравнения комплексные

Этапы расчётов те же, что и в предыдущем примере, поэтому нумерацию этапов и названия далее не приводим.

Пусть задана передаточная функция

Решаем характеристическое уравнение

Корни комплексные, поэтому далее решение идет по другому пути.

Выделяем полный квадрат в знаменателе, а затем, как и раньше раскладываем выражение h (p) на сумму табличных выражений:

Из равенства второй и последней дробей получаем систему уравнений, использемую для расчета значений коэффициентов А, В и С,

Решая, эту систему уравнений, получаем:

Окончательно изображение переходного процесса примет вид:

Переходим согласно табл.1.1 от изображений к оригиналам:

(1.17)

Далее находим функцию веса:

(1.18)

Определение времени счета:

Преобразуем выражение h (t)(1.17) следующим образом:

(1.19)

Сумму в скобке можно представить в виде одной функции sin:

(1.20)

Мы имеем право на замену дробей 0,242 и 0,97 на cosg и sing, соответственно, т.к. сумма их квадратов равна 1: 0,242²+0,97²=1. Это свойство коэффициентов при sinw t и cosw t (в данном случае w=2) в выражении (3.28) верно всегда при выполнении преобразований, приведенных в этом выражении.

C учетом (1.20) h (t) можно представить в таком виде:

,

где рад (вычислить g можно по любой формуле из приведенного их ряда).

Окончательно:

(1.21)

Так как функция sin по модулю не превосходит 1, то время переходного процесса можно вычислить так же, как и раньше, из уравнения:

(1.22)

График переходного процесса колебательный и будет содержать экстремальные точки. Для их нахождения используется производная от h (t), т.е. функция веса k (t):

k (t) =0, 1,875e^-0,5tsin2t+e^-0,5tcos2t=0, tg2t=-1/1,875=-0,533,

откуда

t_e=(arctg(-0,533)+pn)/2=-0,245+pn/2 (рад), где n=1,2,3...

Значения t_e: t_e1=1,325 c, t_e2=2,9 c; t_e3=4,465 c, t_e4=6,03 c и т.д.

Определение шага вычислений:

Из времени t_пп=6,1 с находим шаг вычислений D t=1с; Время счета t = 0..7.

Далее заполняется таблица (табл.1.3) вычислений при найденных значениях t и затем строятся графики h (t)и k (t) (рис.1.6).

Таблица 1.3

Вопросы и задания

1. Обоснуйте вид изображений переходного процесса h (t) и функции веса k (t), а также связи между ними

2. Поясните суть табличного метода расчета переходного процесса h (t).

3. Как определяются время t_ПП переходного процесса и шаг вычислений при расчете и построениях графика переходного процесса h (t) при действительных корнях характеристического уравнения передаточной функции?

4. Как определяются время t_ПП переходного процесса и шаг вычислений при расчете и построениях графика переходного процесса h (t) при комплексных корнях характеристического уравнения передаточной функции?

5. Как определяются экстремальные точки графика колебательного переходного процесса h (t)?

1.3. Частотные характеристики линейных САУ

Частотные характеристики линейных САУ рассчитываются через передаточные функции: если W (p) – передаточная функция, то W (jw)– частотная характеристика (ЧХ), получаемая из передаточной функции путём замены в ней p на jw.

ЧХ как комплексное число может быть представлено в показательной и алгебраической формах.

Показательная форма:

(1.22)

Эта запись позволяет найти еще две важнейшие характеристики: АЧХ и ФЧХ:

A (w) – амплитудо-частотная характеристика (АЧХ);

j (w) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Алгебраическая форма:

W(jw) =P (w) +jQ (w) (1.23)

Данное выражение порождает еще две характеристики: – вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) и – мнимо-частотная характеристика (МЧХ).

График ЧХ на комплексной плоскости называется годографом (рис.1.7).

Между величинами A, j, P и Q существуют связи (аргумент w опущен):

(1.24)

Особенности вычислений ЧХ можно проследить только на числовом примере.

Пусть передаточная функция звена имеет вид

Частотная характеристика

(1.25)

В записи (1.25) ЧХ формально представляет собой отношение двух комплексных чисел числителя и знаменателя.

Считая (1.25) показательной формой записи ЧХ, вычисляем АЧХ и ФЧХ:

- АЧХ: (1.26)

- ФЧХ: (1.27)

ВЧХ и МЧХ рассчитываем, используя домножение числителя и знаменателя ЧХ на комплексно-сопряженное к знаменателю число:

откуда

(1.28)

Как видно, вывод выражений A (w), j (w), P (w)и Q (w)принципиально прост. Сложным являются вычисления координат точек годографа ЧХ, если принять во внимание, что при этих вычислениях нужно знать:

- до какого значения аргумента w нужно считать (полный интервал изменения w от 0 до ¥)?;

- и каким должен быть шаг Dw вычислений?

В сравнении с расчётами переходных процессов расчёты ЧХ сложнее тем, что нет простых процедур определения конечной (верхней) частоты w счёта и шага Dw. Последний, к тому же, будет неравномерным.

Здесь следует пользоваться проверенными на практике приёмами расчёта ЧХ:

1. Необходимо предугадать вчерне вид годографа, а именно, где его начало и конец, через какие квадранты комплексной плоскости и в каком порядке он пройдёт при изменении частоты w от 0 до ¥.

Прежде всего, находят точки пересечения годографа с осями координат. Для этого решают уравнения:

P (w) =0 Þ -w⁴+2w²+9=0 Þ w=2,04, т.е. годограф пересекает мнимую ось на частоте w₅=2,04, если в качестве иллюстрации расчётов принять рис.1.7;

Q (w) =0 Þ w(0,5w²+1,5) =0 Þ w=0, т.е. годограф пересекает действительную (вещественную) ось на частоте w₁=0.

Далее вычисляют значения P (w)и Q (w)при найденных частотах и на бесконечности при w=¥.

2. Определяют значение угла j (¥), с которым годограф входит в начало координат, по формуле

j (¥) =-90^o (n-m), (1.29)

где n и m - степени полиномов p, соответственно, знаменателя и числителя передаточной функции.

По результатам описанных вычислений строится в черновом варианте годограф ЧХ (рис.1.7).

3. Подготавливается таблица вычислений, состоящая из 5-ти строк (табл.1.4).

Таблица 1.4

В этой таблице прежде всего нужно заполнить первую строку - строку частот w. Все остальные строки затем заполнятся вычислениями по формулам (1.26)...(1.28).

Сначала находим частоты w₂ и w₃ для точек годографа, лежащих в 4-м квадранте. Очевидно, что эти частоты должны быть такими, чтобы точки годографа на этих частотах равномерно заполняли бы участок в 4-м квадранте, т.е. угол j между соседними точками был примерно равен 30^о (ни в коем случае не надо стремиться получить точно 30^о, а лучше задать, например, 30^о 10^о). Руководствуясь этими соображениями, задаёмся частотой в пределах от 0 до 2,04 (эти значения верны только для рассматриваемого числового примера!) и вычисляем угол j. Если он равен 30^о 10^о, то нами найдена (точнее - угадана) частота w₂. Если вычисления дали 60^о 10^о, то найдена частота w₃. Иначе нужно снова задать значение w. Аналогично определяют частоты w₅...w₇ для 3-го квадранта.

После заполнения строки частот заполняется значениями вся таблица. По значениям P (w) и Q (w) строится годограф W (jw)(рис.1.7), а по значениям A (w)и j (w)строятся АЧХ и ФЧХ (рис.1.8).

Замечание к расчётам по формуле (4.7) значений угла j на калькуляторе, компьютере и по таблицам тригонометрических функций. Во всех перечисленных случаях определяется только главные значения арктангенса - ARCTG (*), - которые находятся в пределах от -90^о до +90^о. Действительное значение угла определяется с учётом структуры выражения, находящегося под знаком arctg, которое является отношением мнимой Q к действительной P части соответствующего комплексного числа. Если P>0, то угол лежит в 1-м или 4-м квадрантах, если P<0, то угол лежит во 2-м или 3-м квадрантах. При Р=0 угол равен 90^о:

где sign (Q)- знак числа Q.

Как видно из приведенных выше приёмов расчёта ЧХ такой расчёт содержит достаточно громоздкие вычисления.

Вопросы и задания

1. Что такое "показательная" и "алгебраическая" формы записи ЧХ? Как перейти от одной формы записи к другой?

2. Как по заданной передаточной функции рассчитать выражения АЧХ А (ω) и ФЧХ φ (ω)?

3. Каковы практические приемы расчета частотных характеристик?

4. Почему при вычислениях ФЧХ φ (ω) требуется коррекция и какова эта коррекция?

1.4. Логарифмические амплитудно-частотые

характеристики - ЛАЧХ

Из частотных характеристик в ТАУ чаще всего используются асимптотические логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ). Преимущество асимптотических ЛАЧХ (далее – просто ЛАЧХ) в том, что их расчёт чрезвычайно прост при достаточно высокой точности. При использовании ЛАЧХ не существует проблем с длительным выбором (угадыванием) частот, при которых следует выполнять вычисления.

ЛАЧХ определяется выражением

, (1.30)

а асимптотической она становится благодаря специальным правилам ее построения, суть которых в том, что:

- оси координат полулогарифмические, а именно, ось ω логарифмическая неравномерная, а ось L (ω) линейная равномерная;

- ЛАЧХ состоит из отрезков прямых линий со стандартными коэффициентами наклона.

Для построения ЛАЧХ необходимо передаточную функцию W (p) привести к стандартной форме

(1.31)

Например,

Далее из (1.31) образуем АЧХ

(1.32)

В выражении АЧХ (1.32) будут всегда присутствовать максимум только четыре стандартных сомножителя видов

(1.33)

Для радикалов , которым в исходной передаточной функции (1.31) соответствуют скобки выражений двух- и трехчленов введем приближенные замены:

1) (1.34)

или для скобки двучлена

(1.35)

Обозначим и назовем её частотой сопряжения участков ЛАЧХ. Максимальная погрешность замен (1.34) достигается на частоте сопряжения и составляет 3 дБ. Это малая величина, если оценивать ее по реальным графикам ЛАЧХ (рис.1.9).

2) (1.36)

или для скобки трехчлена

(1.37)

Максимальная погрешность замен (1.36) достигается на частоте сопряжения и составляет 6 дБ.

Пусть ω_с.min минимальная частота сопряжения, определенная для передаточной функции W (p), представленной в виде (1.31). Тогда в соответствии с (1.35) и (1.38) для диапазона частот ω<ω_с.min все скобки двучлены и трехчлены можно принять равными 1 и приближенные передаточная функция, АЧХ и ЛАЧХ будут иметь вид:

(1.38)

где V=lg ω.

В осях V – L первый участок ЛАЧХ L_I при ω<ω_с.min, представляет собой прямую линию, проходящую через точку 20 lg K с коэффициентом наклона –20 ν дБ/дек. Так как наклоны всех участков ЛАЧХ будут иметь наклоны кратные числу 20, то наклон будем обозначать просто как –ν.

Предположим, что частота сопряжения ω_с.min порождена скобкой двучленом , находящейся в числителе передаточной функции (т.е. ). Тогда при ω≥ω_с.min согласно (1.34) приближенные передаточная функция, АЧХ и ЛАЧХ будут иметь вид:

(1.39)

В осях V – L второй участок ЛАЧХ L_II при ω≥ω_с.min, представляет собой прямую линию, проходящую с наклоном – (ν-1) через конечную точку первого участка на частоте ω_с.min.

Аналогично можно построить 3-й, 4-й и все последующие участки ЛАЧХ, которые всегда будут прямыми линями с наклонами кратными числу 20.

Обобщением изложенного является следующий алгоритм построения ЛАЧХ:

1). По выражению (1.31) находим все частоты сопряжения ω_с, упорядочиваем их по возрастанию от значения ω_с.min до значения ω_с.mах.

2). Составляем выражение передаточной функции W_I (p) первого для первого участка ЛАЧХ. Задаемся любой частотой из диапазона ω_I<ω_с.min и вычисляем ординату L_I (ω_I) первого участка ЛАЧХ. Через точку с координатами ω_I и L_I (ω_I) проводим прямую линию с наклоном –ν до частоты сопряжения ω_с.min.

3). Все последующие отрезки ЛАЧХ строим по следующим двум правилам (без вычислений):

а) при переходе частоты сопряжения, порожденной скобкой двучленом , наклон ЛАЧХ изменяется на единицу, а порожденной скобкой трехчленом - наклон изменяется на два;

б) при переходе частоты сопряжения, порожденной скобкой числителя, наклон ЛАЧХ изменяется в положительную сторону, а порожденной скобкой знаменателя – наклон ЛАЧХ изменяется в отрицательную сторону.

Числовой пример

Построить ЛАЧХ для САУ с передаточной функцией вида

Решение:

1). Приводим W (p) к стандартному виду типа (1.31):

где .

2). Рассчитываем частоты сопряжения и логарифм от них

(1.40)

3). Подготавливаем плоскость V – L к построению ЛАЧХ (рис.1.9), для чего отмечаем на ней вертикальными пунктирными линиями значения V₁, V₂, V₃ и V₄, взятые из (1.40).

4). Составляем выражение передаточной функции W_I (p) первого для первого участка ЛАЧХ

Учитывая минимальное значение частоты сопряжения ω_с.min=0,67, задаемся частотой ω_I=0,1 из диапазона ω_I<ω_с.min и вычисляем ординату L_I (ω_I) первого участка ЛАЧХ

дБ.

Через точку с координатами ω_I=0,1 и L_I (ω_I) =12 проводим прямую линию с наклоном –1 (так как ν=1)до частоты сопряжения ω_с.min=0,67.

5). Все последующие отрезки ЛАЧХ строим по двум вышеназванным правилам (без вычислений).

Так как частота сопряжения ω_с1=0,67, разделяющая I -й и II- й участки ЛАЧХ, порождена скобкой двучленом числителя, то наклон линии II- го участка будет равен 0, что следует из вычислений –1+1=0.

Так как частота сопряжения ω_с3=5, разделяющая II -й и III- й участки ЛАЧХ, порождена скобкой трехчленом знаменателя, то наклон линии III- го участка будет равен -2, что следует из вычислений 0-2=-2.

Так как частота сопряжения ω_с2=10, разделяющая III -й и IV- й участки ЛАЧХ, порождена скобкой трехчленом числителя, то наклон линии IV- го участка будет равен 0, что следует из вычислений –2+2=0.

Так как частота сопряжения ω_с4=20, разделяющая IV -й и V- й участки ЛАЧХ, порождена скобкой двучленом знаменателя, то наклон линии V- го участка будет равен -1, что следует из вычислений 0-1=-1.

ЛАЧХ построена.

Вопросы и задания

1. Как привести передаточную функцию к стандартной форме, пригодной для расчетов ЛАЧХ?

2. Какие замены применяются к выражению АЧХ и какова погрешность таких замен?

3. Как рассчитывается 1-й участок ЛАЧХ и как определяется его положение и наклон?

4. По каким правилам строятся участки ЛАЧХ, следующие за 1-м?

5. Поясните расчеты и построения ЛАЧХ на основе числового примера.

1.5. Типовые позиционные звенья САУ

Звенья САУ могут иметь передаточную функцию с полиномами числителя и знаменателя произвольного порядка

(1.41)

Для полиномов, составляющих числитель и знаменатель выражения передаточной функции (1.41), можно найти корни, которые могут быть только одного из четырех типов: нулевыми р=0, действительными р=-α, комплексными р_1,2=-α±jβ и мнимыми р_1,2=±jβ. С учетом найденных корней полиномы могут быть представлены в виде произведения выражений, соответственно, типа

(1.42)

Звенья САУ, передаточная функция которых содержит кроме постоянных чисел не более двух выражений типа (1.42) в числителе или знаменателе, называют типовыми звеньями. Всем типовым звеньям даны названия.

Типовые звенья подразделяются на позиционные, интегрирующие и дифференцирующие. Позиционные звенья имеют для установившегося режима статические характеристики вида y=kx, аинтегрирующие и дифференцирующие таких характеристик не имеют.

Виды типовых позиционных звеньев:

1. Безинерционное (пропорциональное) звено имеет передаточную функцию и описывается алгебраическим уравнением, соответственно, вида

W(p)=k, y=kx

Примерами безинерционных звеньев служат рычажная передача (рис.1.10а), потенциометрический датчик перемещения (рис.1.10б).

В этих звеньях выходной сигнал у повторяет без задержки по форме входной сигнал х.

Выражение переходного процесса

y=kx

Частотне характеристики

2. Апериодическое (инерционное) звено 1-го порядка имеет передаточную функцию и описывается уравнением вида

где k, Т - коэффициент передачи и постоянная времени звена.

Примерами этого звена служат интегрирующая RC- цепь (рис.1.11а), 'электродвигатель, обмотки которого разогреваются во время работы (рис.1.11б).

Выполним вывод передаточной функции для RC- цепи. Используя закон Ома, получим

Переходный процесс описывается выражением

где вместо x=1(t), как должно быть для переходного процесса, принято фактическое значение сигнала x, благодаря чему рассчитывается реакция звена на скачок произвольной величины.

График переходного процесса приведён на рис.1.11в. Установившееся значение y_уст, равное kx, достигается на бесконечности: t®¥. Время переходного процесса t_пп, определяемое по моменту окончательного вхождения графика в 5% зону допуска от у_уст, составляет 3T. Звено обладает самовыравниванием. Свойство самовыравнивания состоит в том, что звено самостоятельно без применения дополнительного регулирования приходит к постоянному по величине установившемуся значению.

Частотные характеристики

и их графики, приведенные на рис.1.12.

3. Инерционное звено 2-го порядка имеет передаточную функцию

Особенность звена в том, что его характеристическое уравнение имеет действительные корни.

Примерами этого звена служит RLC -цепь (рис.1.13а) при большом сопротивлении R резистора , электропривод, приводящий во вращение нагрузку с большим моментом инерции J (рис.6.4б).

Переходный процесс описывается выражением

где с₁ и с₂ - постоянные интегрирования.

График переходного процесса (рис.1.14а) имеет точку перегиба. Время переходного процесса t_пп можно определить только графически.

Частотные характеристики

и их графики, приведенные на рис.1.15.

4. Колебательное звено имеет передаточную функцию

где T - период свободных (незатухающих) колебаний;

ξ - параметр затухания, принимающий значения 0<ξ<1.

Особенность звена в том, что его характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни.

Примерами этого звена служит RLC -цепь (рис.1.13а) при малом сопротивлении R резистора , электропривод, приводящий во вращение нагрузку с малым моментом инерции J (рис.1.13б). Переходный процесс описывается выражением

где - резонансная частота с учётом затухания колебаний.

График переходного процесса приведён на рис.1.14б. Чем меньше значение параметра ξ, тем медленнее затухает переходный процесс. Время переходного процесса можно определить только графически.

Частотные характеристики

и их графики, приведенные на рис.1.16. При ξ >0,707 резонансный пик на АЧХ отсутствует. При ξ <0,5 на ЛАЧХ имеется резонансный пик высотой Н.

Вопросы и задания

1. Что принято считать типовым звеном?

2. Приведите примеры безинерционных звеньев и их характеристики (передаточные функции, переходный процесс, частотные характеристики).

3. Приведите примеры апериодических звеньев 1-го порядка и их характеристики.

4. Приведите примеры апериодических звеньев 2-го порядка и их характеристики.

5. Приведите примеры колебательных звеньев и их характеристики.

1.6. Типовые дифференцирующие звенья САУ

К дифференцирующим звеньям относят звенья, выходной сигнал которых пропорционален производной от входного сигнала. У дифференцирующих звеньев нет статической характеристики, так как связь между входным и выходным сигналами не взаимно-однозначная, а именно, для любого постоянного входного сигнала выходной сигнал в установившемся режиме будет нулевым.

Виды типовых дифференцирующих звеньев:

1. Идеальное дифференцирующее звено имеет передаточную функцию вида

где – коэффициент размерности;

Т – постоянная времени дифференцирующего звена.

Примерами звена являются: тахогенератор (рис.1.17а) с малоинерционным ротором, входным сигналом которого является угол φ поворота ротора, а выходным – э.д.с. е; Д-регулятор на базе операционного усилителя ОУ (рис.1.17б).

Э.д.с. тахогенератора е_ТГ, как известно, прямо пропорциональна частоте вращения ω его ротора, которая равна производной от угла поворота ротора:

Изображение и оригинал переходного процесса имеют вид

где δ (t)– дельта-функция (см. рис.1.3).

График переходного процесса (рис.1.18) представляет собой импульс бесконечно высокий и бесконечно узкий, площадь которого равна kT. Такой сигнал физически нереализуемый и фактически импульс всегда ограничен по амплитуде. Если входной сигнал х изменяется не скачком, то на выходе идеального дифференцирующего звена образуется сигнал у конечной формы. Например, при линейно изменяющемся входном сигнале x=v^.t, изображением которого согласно табл.1.1 равно , изображение выходного сигнала будет , а оригинал согласно табл.1.1 будет равен .

Частотные характеристики

и их графики, приведенные на рис.1.19.

Самым ценным свойством идеального дифференцирующего звена является обеспечение им положительного фазового сдвига +90^о. Благодаря этому сдвигу обеспечивается устойчивость САУ, повышается быстродействие и подавляется колебательность (раскачивание) САУ.

1. Реальное (инерционное) дифференцирующее звено имеет передаточную функцию вида

где τ – постоянная времени инерции дифференцирующего звена.

Примерами звена являются: тахогенератор (рис.1.17а) с инерционным ротором; дифференцирующие RC -цепь (рис.1.20а) и RL -цепь (рис.1.20б); гидравлический демпфер-амортизатор (рис.1.20в).

Выполним вывод передаточной функции для RC- цепи. Используя закон Ома, получим

Переходный процесс описывается выражением

Поиск по сайту: