Градиентные методы

Градиентные методы применяются для организации рабочих шагов в САУ, целевая функция которых имеет один экстремум (рис.6.6а).

Метод градиента

При этом методе рабочий шаг Δ u пропорционален градиенту

где а — коэффициент, т.е. по каждому из управляющих каналов рабочее воздействие пропорционально соответствующей частной производной.

Идею этого метода удобно рассмотреть для случая двух управляющих параметров на плоскости, где нанесены линии постоянного значения (линии уровня) оптимизируемой функции (рис.6.7). Линии уровня представляют собой замкнутые кривые, причем линии, соответствующие большему значению J (для случая экстремума - максимума) находятся внутри линий, соответствующих меньшему значению J. Кроме того, большему значению градиента соответствует более близкое расположение друг к другу линий уровня.

На рис.6.7 показана траектория поиска по методу градиента (1-2-3-4) в плоскости управляющих переменных и₁ и и₂. В каждой из точек 1, 2, 3 производится вычисление градиента и делается рабочий шаг: 1-2, 2-3, 3-4. Направление рабочего шага совпадает с нормалью к линиям уровня, а величина шага тем больше, чем больше модуль градиента. До завершения движения по выбранному направлению, заключающемуся в перемещении по всем направлениям на величины, равные частным производным, вычисление градиента блокируется. Так, на траектории 1-2 произошло два пересечения линии уровня, причем после второго пересечения произошло явное удаление от экстремума целевой функции.

Метод наискорейшего спуска (крутого восхождения)

Рабочий шаг при этом проводится в направлении градиента, однако величина его определяется не модулем градиента, а условием достижения экстремума в направлении градиента. На рис.6.6 показана траектория поиска по методу наискорейшего спуска (5-6-7-8). Линия рабочего шага 5-6, например, касается одной из линий уровня. В момент касания 6 движение по выбранному направлению останавливается и в точке 6 останова снова вычисляется градиент и организуется движение по вектору 6-7 и т.д.

Из рис.6.7 видно, что шаг 6-7 значительно больше, чем шаг 5-6, хотя модуль градиента для точки 5 больше, чем для точки 6, о чем можно судить по расстоянию между линиями уровня. Также видно, что в сравнении с градиентным методом пройдено расстояние 5-7, которое больше расстояния 1-3, и точка 7 находится ближе точки 3 к точке экстремума целевой функции.

При сравнении двух описанных методов установлено, что наименьшее число шагов для попадания в окрестность экстремальной точки требуется при применении метода наискорейшего спуска. Речь идет о числе шагов, получаемом путем усреднения для различных траекторий поиска по какой-либо области начальных условий.

Поиск по сайту: