Критерий устойчивости Гурвица 4 страница

2.1. Типы случайных процессов и их характеристики

Многие судовые системы работают в условиях действия на них случайных сигналов, например, сил ветра и волн, действующих на корпус судна, мощности электрической нагрузки электростанции при включении и выключении электроприемников в случайные моменты времени.

Случайным процессом называется функция времени x (t), которая в момент времени t принимает случайное значение. Если многократно в течение интервала времени Т вести наблюдение (вести запись) за случайным сигналом х, то каждый раз будет получена реализация случайного процесса, не совпадающая со всеми предшествующими реализациями (рис.2.1). Поэтому ни о каком строгом математическом описании графика случайного процесса не может быть речи. Реально можно определить и затем использовать в расчетах САУ некоторые обобщенные (интегральные) характеристики случайных процессов.

Числовые характеристики случайных процессов

Для решения задач ТАУ достаточным является использование следующих характеристик случайных процессов: функции распределения, плотности вероятности, математическое ожидание, корреляционные функции.

Функцией распределения

называется вероятность того, что в момент времени t значение x (t) не превысит заданного х_ЗАД.

Плотностью вероятности называется частная производная по х от функции распределения

Плотности вероятности подчиняется формуле

,

которая отражает очевидный факт, что случайная величина x (t) в любой момент времени из бесконечного интервала -∞<t<∞ примет какое-то конкретно значение.

Математическое ожидание процесса x(t) в заданный момент времени t

(2.1)

является средним значением по множеству реализаций случайного процесса x (t).

На рис.2.1 показаны значения т_х (t₁) и т_х (t₂) из множества реализаций { x₁ (t), x₂ (t) _,…,x_n (t)}, которые при ограниченном числе п реализаций находятся по формуле усреднения

(2.2)

Вычисления математического ожидания по точной формуле (2.1) или по приближенной (2.2) неудобны тем, что для них требуется информация о бесконечно большом числе реализаций случайного процесса. Из-за реальной ограниченности числа реализаций п в формуле (2.2) применен знак приближенного равенства .

Вычисление математического ожидания может быть упрощено для случайных процессов, обладающих свойствами стационарности и эргодичности.

Случайный процесс называется стационарным, если среднее значение по множеству реализаций на любом временном интервале длительностью Т (рис.2.1) является одним и тем же постоянным числом

т_х (t) =idem при ,

где t₀ – любой момент начальный момент времени t интервала Т.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если среднее значение по множеству реализаций равно среднему значению по времени

На основании свойств стационарности и эргодичности можно вычислить математическое ожидание т_х на основе только одной достаточно продолжительной реализации случайного процесса, например, процесса х₂ (t) (рис.2.1).

Свойства стационарности и эргодичности не являются очевидными и на практике строго не выполняются. Эти свойства можно принимать в качестве гипотезы, но с обязательной последующей проверкой в эксперименте. Такие способы проверки существуют, которыми устанавливается также уровень достоверности гипотезы.

Дисперсия D_x или среднеквадратичное значение центрированного случайного процесса x(t):

, (2.3)

где - центрированный случайный процесс.

Корреляционные функции:

Корреляционные функции характеризуют взаимозависимость (тесноту связей) между значениями случайных сигналов, отстоящих друг от друга по времени на величину τ. В зависимости от вида случайных сигналов, между которыми устанавливается теснота связей, корреляционные функции подразделяются на автокорреляционные и взаимные корреляционные.

а). Автокорреляционная функция

(2.4)

Численное значение автокорреляционной функции характеризует тесноту связей между парами значений случайного сигнала x (t), которые отстоят друг от друга по времени на величину τ. Чем больше значение R_x (τ), тем сильнее значение x (t+τ) зависит от значения x x (t). При R_x (τ) =0 значение x (t+τ) не зависит от значения x (t).

Значение автокорреляционной функции R_x (τ) при τ=0 совпадает со значением дисперсии

(2.5)

б). Взаимная корреляционная функция

(2.6)

Численное значение взаимной корреляционной функции характеризует тесноту связей между парами значений случайных сигналов x (t) и у (t), которые отстоят друг от друга по времени на величину τ. Чем больше значение R_xу (τ), тем сильнее значение у (t+τ) зависит от значения x (t). При R_xу (τ) =0 значение у (t+τ) не зависит от значения x (t).

Вопросы и задания

1. Дайте определение случайному процессу и функции распределения.

2. Дайте определения математическому ожиданию для случайных процессов общего вида, а также для стационарных и эргодических.

3. Дайте определение дисперсии и корреляционной функции.

2.2. Прохождение стационарного случайного сигнала

через линейное звено

Выходной сигнал линейного, на вход которого поступает сигнал со случайными характеристиками, является также случайным. Необходимо уметь рассчитывать характеристики случайного выходного сигнала по передаточной функции линейного звена и характеристики случайного выходного сигнала. Для решения указанной задачи потребуется еще одна характеристика случайного процесса – спектральная плотность S_x (ω).

Спектральной плотностью случайного процесса называется Фурье-преобразование от автокорреляционной функции

(2.7)

Существует обратное Фурье-преобразование

(2.8)

Исследования свойств спектральной плотности S_x (ω) показывает, что она является всегда четной функцией S_x (ω) = S_x (- ω), т.е. ее значение не зависит от знака частоты ω. Это свойство четности позволяет видоизменить формулу (2.8)

Это определение R_x (τ) и свойство (2.5) даёт следующую формулу определения дисперсии

, (2.9)

которая является центральной в расчетах прохождения случайного сигнала через линейное звено.

У спектральной плотности S_x (ω), введенной чисто формально преобразованием (2.7), имеется четкий физический смысл, а именно, S_x (ω) является энергетической характеристикой случайного процесса. Любой случайный процесс теоретически можно представить в виде суммы гармонических составляющих в диапазоне частот ω=0…∞. Вводится определение величины энергии случайного процесса в окрестности dω гармонической составляющей с частотой ω

С этим определением S_x (ω) полная энергия случайного процесса выразится как

(2.10)

Сопоставляя (2.10) с (2.9), можно сделать заключение, что дисперсия D_x также является энергетической характеристикой случайного процесса x (t). Для обоснования такой трактовки дисперсии рассмотрим электрическую цепь (рис.2.2), в которой ток i в резисторе R создаёт источник шумов с э.д.с. е_Ш. Э.д.с. е_Ш изменяется случайным образом и ее происхождение связано с тепловым движением электрических зарядов в элементах, входящих в электрическую цепь, таких как соединительные проводники, резисторы и т.д.

Мощность шумов р_Ш, выделяемая в резисторе R, равна , а средняя мощность источника шумов за время 2Т составит

(2.11)

При математическом ожидании т_е сигнала е_Ш равном нулю его дисперсия согласно (2.3) будет следующей

(2.12)

Из сопоставления (2.11) и (2.12) следует, что дисперсия D_e сигнала е_Ш прямо пропорциональная средней мощности Р_СР источника шумов. С учетом формулы (2.9) получаем пропорцию

Р_СР ~ ,

которой и доказывается энергетический смыл спектральной плотности.

Рассмотрим пример расчета автокорреляционной функции и спектральной плотности для гармонического одночастотного сигнала х(t) со случайной фазой α (рис.2.3)

Среднее значение данного сигнала нулевое: т_х=0. Согласно (2.4) автокорреляционная функция равна

(2.13)

Полученное выражение (2.7) не зависит от случайной величины α, а предсказуемость значения х (t) от через время τ зависит от величины этого времени. Так через время τ равное полупериоду гармонического сигнала, корреляционная связь максимальна и последующее за x (t) значение x (t+τ) абсолютно предсказуемо, а при временном сдвиге , где п – целое число, последующее за x (t) значение x (t+τ) абсолютно непредсказуемо.

Спектральная плотность согласно (2.7) равна

(2.14)

Полученное выражение (2.14) не зависит от случайной величины α, а мощность случайного сигнала x (t) переносится целиком на частотах ±Ω.

Графики x (t), R_x (τ) и S_x (ω) для рассмотренного примера приведены на рис.2.3.

Теперь можно решать задачу определения характеристик S_y (ω), R_y (τ } и D_y выходного случайного сигнала при известных характеристиках S_y (ω), R_y (τ } и D_х входного сигнала (рис.2.4).

При известной передаточной функции W (p) линейного звена для него может быть определена функция веса k (t). Случайный сигнал y (t) может быть найден по интегралу свертки

Вычисления по (2.4) автокорреляционной функции R_х (τ }, затем вычисления по (2.7) спектральной плотности дают следующий результат

(2.15)

где А (ω) – АЧХ линейного звена.

Дисперсия случайного сигнала определяется согласно (2.9) формулой

Вопросы и задания

1. Дайте определение спектральной плотности. Какой ее физический смысл?

2. Как через спектральную плотность определить дисперсию?

3. Как определить спектральную плотность и дисперсию выходного сигнала линейного звена при известной спектральной плотности входного сигнала?

2.3. Расчет ошибок регулирования в линейной САУ

при воздействии на нее полезного сигнала с помехой

Рассмотрим замкнутую САУ (рис.2.5), отрабатывающей сигнал задания х (t), и на которую действует сигнал помехи g (t), приложенный к входу объекта управления. В ошибке регулирования помимо регулярной составляющей, зависящей от входного сигнала х (t), присутствует случайная составляющая, зависящая от случайного сигнала g (t). Считаем известными передаточные функции регулятора W_P (p) и объекта управления W_ОУ (p).

Рассчитаем среднеквадратичную ошибку регулирования

В соответствии с (2.12) подкоренное выражение является дисперсией, а в соответствии с (2.9) дисперсия вычисляется через спектральную плотность. Поэтому можно записать

(2.16)

Результат (2.16) показывает, что для расчета среднеквадратичной ошибки регулирования ε_СКО необходимо иметь выражение спектральной плотности S_ε (ω) сигнала ошибки ε (t).

По структурной схеме рассчитываем изображение ошибки регулирования ε (р):

откуда

, (2.17)

где W_У (p) и W_B (p) - передаточные функции САУ, соответственно, по управлению и возмущению.

Считая сигналы х (t)и g (t) некоррелированными между собой (это значит, что мгновенные значения сигнала х (t) не зависят от сигнала g (t) и наоборот), в соответствии с (2.15) спектральная плотность сигнала ошибки ε (t) будет равна

(2.18)

Формула среднеквадратичной ошибки будет иметь вид

(2.19)

Аналитические выражения АЧХ А_У (ω) и А_В (ω), входящие в выражение (2.19), выводятся из заданных передаточных функций регулятора W_P (p) и объекта управления W_ОУ (p) с учетом определений W_У (p) и W_В (p), отмеченных в (2.17). Аналитические выражения спектральных плотностей S_х (ω) и S_g (ω) определяют либо аналитически (для сигнала х (t) задания), либо статистической обработкой реально наблюдаемых в эксперименте сигналов (для сигнала g (t) помехи). Некоррелированность сигналов х (t) и g (t) также должна быть доказана расчетом. Если все же сигналы х (t) и g (t) окажутся коррелированны с большой степенью связи между ними, то ошибку ε_СКО следует вычислять по выражению, расширенному в сравнении с (2.19). В расширенное выражение входят дополнительные слагаемые, которые содержат взаимные спектральные плотности, вычисленные через взаимные корреляционные функции (2.13) по формуле

Вопросы и задания

1. Как в САУ, находящейся под действием сигналов задания и помех, найти операторное изображение сигнала ошибки?

2. Как в САУ, находящейся под действием сигналов задания и помех, найти спектральную плотность сигнала ошибки?

3. Как в САУ, находящейся под действием сигналов задания и помех, найти среднеквадратичное значение сигнала ошибки?

2.4. Пример судовой САУ, отрабатывающей

полезный сигнал с помехой

Рассмотрим САУ курсом судна (рис.2.6), состоящей из судна с передаточной функцией W_С (p) и авторулевого с передаточной функцией W_АР (p). Входным сигналом является сигнал задания х (t) курса судна, а выходным – сигнал у (t) фактического курса. На корпус судна действуют силы ветра и волн, которые обозначены сигналом помехи g (t).

Передаточные функции авторулевого и судна имеют вид

Сигнал задания курса х (t) принимаем постоянным: х (t)= X=const. Для него спектральная плотность имеет вид

Определенная экспериментально спектральная плотность сигнала помехи, вызванная действием волн на корпус судна, имеет вид

В соответствии с (2.17) по структурной схеме на рис.2.6 имеем изображение ошибки регулирования

Спектральная плотность ошибки регулирования согласно (2.18) имеет вид

Квадрат значения ε_СКО среднеквадратичной ошибки регулирования согласно (2.19) равен

(2.20)

Подинтегральное выражение в формуле (2.20) среднеквадратичной ошибки представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой содержатся многочлены по четным степеням переменной ω. Стандартный вид этой дроби позволил вычислить интеграл в общем виде и результаты таких вычислений сведены в таблицу, которую можно найти в задачниках и справочниках по расчетам САУ.

Эффективным средством уменьшения среднеквадратичной ошибки ε_СКО регулирования является применение в авторулевом Д -регулятора. За счет изменения постоянной времени Т_Д возможно уменьшение ошибки ε_СКО в заданных условиях плавания и загрузки судна. Для определения оптимального значения Т_Д.ОПТ, при котором ε_СКО становится минимальной, необходимо при вычислении выражения (2.20) параметру Т_Д не придавать числовое значение, а оставить его буквой. Тогда выражение квадрата ошибки будет получено в виде функциональной зависимости

Условием выбора оптимального значения Т_Д.ОПТ является равенство нулю производной от :

Настройкой Т_Д.ОПТ достигаем минимальной среднеквадратичной ошибки регулирования.

Вопросы и задания

1. Какой вид имеют сигналы задания и помехи в САУ курсом судна и каковы выражения их спектральных плотностей?

2. Как определяется среднеквадратичное значение ошибки судна на курсе?

3. Как определить постоянную времени Д-части авторулевого из условия минимума среднеквадратичной ошибки судна на курсе?

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ

3.1. Определение нелинейных САУ.

Анализ нелинейных САУ методом припасовывания

САУ является нелинейной, если в ней есть хотя бы один элемент, описываемый нелинейным либо алгебраическим, либо дифференциальных уравнений такого типа. линеаризация которого невозможна. Линеаризация может быть невозможна при наличии у характеристик точек излома, а также в тех случаях, когда сигналы звена нельзя считать малыми (см. тему 1.1).

Примеры нелинейных звеньев приведены на рис.3.1.

Достоинства нелинейных САУ:

1. Простота элементной базы (контакторы, реле и т.п.) и, соответственно, простота ее обслуживания.

2. Простота получения больших коэффициентов усиления по мощности (мощность, потребляемая катушками реле и контакторов на несколько порядков меньше мощности нагрузки, подключаемой их контактами).

Недостатки нелинейных САУ:

1. Сложность расчетов, обусловленная отсутствием аналитического описания (формул) нелинейностей.

2. Неприменимость операторного метода решения дифференциальных уравнений из-за того, что начальные условия по участкам нелинейностей не нулевые.

Для расчета нелинейных САУ разработаны эффективные специальные методы – метод фазовых переменных, гармонический метод. Вместе с этим расчет может вестись классическими методами, заключающемся в прямом интегрировании дифференциальных уравнений. К таким методам относятся методы припасовывания и точечных преобразований.

Методом припасовывания рассчитываются САУ, содержащие нелинейности кусочно-линейного типа, например, с релейные нелинейности. Суть метода в том, что последовательно решаются дифференциальные уравнения по участкам нелинейности и отдельные решения стыкуются так, чтобы координаты конца траектории предыдущего решения служили бы начальными условиями для последующей траектории за исключением тех координат, которые могут изменяться скачком. Метод припасовывания рассмотрим на примере расчета САУ, изображенной на рис.3.2.

Сначала опишем САУ системой уравнений

- дифференциальное уравнение линейного звена;

u=f (ε) - обобщенное описание нелинейности; (3.1)

ε=0-у - уравнение элемента сравнения.

Система (3.1) из трех уравнений содержит три сигнала-функции - сигнала-функции у, ε и и Нужно рассчитать выходной сигнал схемы – сигнал у, исключив из системы (3.1) сигналы ε и и. Однако, так как входным и выходным сигналами нелинейности являются, соответственно, ε и и, то желательно эти сигналы не исключать из системы уравнений, иначе бы потребовалось перестройка графика нелинейности для иных входных и выходных сигналов. Учитывая третье уравнение ε=-у системы (3.1), исключим сигнал у. Получим следующее описание САУ

(28.2)

В соответствии с графиком нелинейности сигнал и принимает только два значения: максимальное и_т и минимальное –и_т.

Зададимся начальным значением сигнала ε₀ (точка 0 на рис.3.2). Тогда выходным сигналом нелинейности будет и=и_т. Дифференциальное уравнение согласно (3.2) и его решение будут следующими

Постоянная интегрирования С₁ определяется из начального условия: при t=0 должно быть , откуда С₁=ε₀. Решение примет вид

Так как производная , то сигнал ε будет уменьшаться. Траекторией движения на графике нелинейности будет отрезок 0-1. График переходного процесса для участка 0-1 приведен на рис.3.3.

При ε=-ε_т, сигнал и изменится скачком до значения –и_т. На графике нелинейности этому будет соответствовать скачок 1-2.

Дифференциальное уравнение согласно (3.2) и его решение будут следующими

,

в котором отсчет времени t ведется от точки 2 графика переходного процесса.

Постоянная интегрирования С₂ определяется из начального условия: при t=0 должно быть , откуда С₂=-ε_т. Решение примет вид

(3.3)

Так как производная , то сигнал ε будет увеличиваться. Траекторией движения на графике нелинейности будет отрезок 2-3. График переходного процесса для участка 2-3 приведен на рис.3.3.

При ε=ε_т, сигнал и изменится скачком до значения и_т. На графике нелинейности этому будет соответствовать скачок 3-4.

Дифференциальное уравнение согласно (3.2) и его решение будут следующими

Постоянная интегрирования С₃ будет равна ε_т. Решение примет вид

(3.4)

Так как производная , то сигнал ε будет уменьшаться. Траекторией движения на графике нелинейности будет отрезок 4-1. График переходного процесса для участка 4-1 приведен на рис.3.3.

Далее после точки 1 процесс будет повторяться по графику 1-2-3-4-1.

В САУ установится периодический процесс с графиком, отличающимся от гармонического. Такой процесс называется автоколебательным. Параметрами автоколебаний являются амплитуда А_АК и период Т_АК.

Амплитуда автоколебаний согласно рис.3.3 равна ε_т.

Период автоколебаний согласно рис.3.3 равен

(3.5)

Величину t₂₃ определим из (3.3), подставив в него t=t₂₃ и ε=ε_m,

(3.6)

Величину t₄₁ определим из (3.4), подставив в него t=t₄₁ и ε=-ε_m,

Поиск по сайту: