Закон сохранения импульса. Центр масс

Центром масс системы материальных точек называется точка С, радиус вектор r _c которой равен

где r _i - радиус-вектор i-й материальной точки, а - масса всей системы.

Скорость центра масс

Т.к. импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость ее центра масс: то:

где ускорение центра масс. Таким образом, центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Лекция 4

Энергией называется мера различных форм движения и взаимодействия. Количественной характеристикой процесса обмена энергией между взаимодействующими телами является работа силы А.

Элементарной работой dA силы F на малом перемещении d r точки приложения силы называется скалярное произведение силы F на перемещение d r:

где dS = | d r | - элементарный путь, α - угол между силой F и элементарным перемещением d r, F_S =Fcosα - проекция силы F на направление d r. Тогда полная работа на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути, т.е. выражается интегралом:

Если зависимость F_S задана графически, то работа измеряется площадью криволинейной трапеции S₁12S₂.

Мощность -работа, совершаемая за единицу времени:

N =

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кине­ти­ческой энергией W_k называется энергия механического движения системы. Изменение кинетической энергии материальной точки происходит под действием приложенной к ней силы F и равно работе, совершаемой этой силой:

dW_k=dA

Используя второй закон Ньютона , получаем:

Откуда:

_k

Кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е., кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только положениями начальной и конечной точек, называются консервативными (например, гравитационные и упругие силы). Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.

Введем понятие потенциальной энергии как некоторой функции состояния взаимодействующих тел (их взаимного расположения) и будем считать, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии:

где А_К – работа консервативных сил; W_п - потенциальная энергия.

Соответственно, работа консервативных сил при малом изменении конфигурации системы

dA = ‑ dW_П.

С другой стороны

dA = F d r.

Следовательно, потенциальная энергия материальной точки

где С – постоянная интегрирования, которая определяется из начальных и граничных условий. То есть потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это не отражается на физических законах, так как они содержат или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производную W_п по координатам.

Связь между силой и потенциальной энергией имеет вид:

F = ‑ grad W_П,

где символом grad обозначена сумма

В общем случае градиентом скалярной функции φ (grad φ) называется вектор, совпадающий по направлению с осью, вдоль которой функция φ возрастает с наибольшей скоростью; модуль градиента φ равен изменению этой функции на единицу длины при перемещении вдоль данной оси.

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести с напряженностью g равна:

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого W_п=0.

Потенциальная энергия в поле тяготения равна:

где r - расстояние между центрами масс, при условии, что потенциальная энергия в центра­ль­ном поле тяготения равна нулю при удалении взаимодействующих тел на бесконечно большое расстояние друг от друга.

Потенциальная энергия деформированной пружины равна:

считая, что потенциальная энергия пружины равна нулю при х = 0, т.е. когда пружина не деформирована.

Допустим, что в системе действуют консервативные и диссипативные силы. Работа всех сил А₁₂ при переходе системы из положения 1 в положение 2 равна приращению ее кинетической энергии:

А₁₂=W_k2-W_k1.

Но эту работу можно представить в виде суммы работы консервативных сил А₁₂ ^кон. и работы диссипативных сил А₁₂ ^дис.. Первая работа может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы:

А₁₂ ^кон.=W_п1-W_п2.

Поэтому

А₁₂=W_п1-W_п2+ А₁₂ ^дис.

Приравнивая это выражение к приращению кинетической энергии, получим:

W_k2-W_k1=W_п1-W_п2+ А₁₂ ^дис, или

W₂-W₁= А₁₂ ^дис,

где W=W_k+W_п - полная механическая энергия системы.

Итак, закон сохранения энергии: в замкнутых системах, где действуют только консервативные силы полная механическая энергия остается постоянной. Могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

В системах с диссипативными силами механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие виды энергии (например, в энергию беспорядочного движения молекул). Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными. Однако, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – су­щность неуничтожимости материи и ее движения.

Примером применения законов сохране­ния импульса и энергии является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Абсолютно упругий удар -это взаимодействие двух тел, в результате которого механическая энергия сохраняется. Рассмотрим центральные удары абсолютно упругих шаров. В этом случае скорости шаров до удара v₁ и v₂ направлены вдоль прямой, соединяющей их центры. Эта прямая называется линией удара. Скорости шаров после столкновения v₁^' и v₂^' находим из законов сохранения импульса и энергии:

Решая эту систему уравнений, получим:

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолют­но неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу. Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара v₁ и v₂, то используя закон сохранения импульса, можно записать

где v – скорость движения шаров после удара. Тогда

При неупругом ударе в соударяющихся телах происходят различные процессы (пластические деформации, трение и др.), в результате которых происходит потеря кинетической энергии, превращающейся в тепловую или другие виды энергии. Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии до и после удара:

Лекция 5

При изучении вращения твердых тел, как мера инертности, используется понятие момента инерции.

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где ρ - плотность тела в данной точке, а интегрирование производится по всему объему тела V.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_C относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями

Значения моментов инерции для некоторых тел приведены в таблице:

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же	mR2
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину	m l 2
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело вращающееся около неподвижной оси Z, проходящей через него. Разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m₁, m₂, … m_n, находящимися на расстоянии r₁, r₂, … r_n от оси вращения.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами m_i описывают окружности различных радиусов r_i и имеют разли­ч­ные линейные скорости v_i.

Угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:

где J – момент инерции тела относительно оси вращения Z.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

В случае плоского движения тела, например, цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m – масса катящегося тела;

v_C – скорость центра масс тела;

J_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;

w – угловая скорость тела.

Поиск по сайту: