Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть на отрезке задана произвольная система точек , в которых известны значения функции . То есть, задана следующая таблица

Таблица 5.1.

			…
			…

Установим зависимость одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.

Построим многочлен таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть

. (5.41)

Лагранж предложил строить многочлен -й степени в виде:

(5.42)

Здесь в каждом слагаемом отсутствует скобка , которой соответствует коэффициент .

Найдем неизвестные коэффициенты , называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие (5.40).

При : .

.

Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:

.

При : .

.

Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:

.

Таким образом, коэффициенты вычисляются по формулам:

.

С учетом найденных коэффициентов интерполяционный полином Лагранжа запишется в виде

. (5.43)

Для интерполяционной формулы Лагранжа справедлива оценка погрешности:

, (5.44)

где .

Пример 5.1. По заданной системе точек

Таблица 5.2.

построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида:

.

Коэффициенты этого многочлена будут вычислены по следующим формулам:

,

,

.

Тогда многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид:

Учитывая, что таблица приведена для функции , вычисленной в узловых точках , сравним погрешность вычислений данной функции и построенного многочлена в контрольной точке :

и .

Погрешность вычислений равна

.

Рис.5.1.

Если таблица 5.1, для которой построена формула Лагранжа, задана для равноотстоящих узлов , то формула Лагранжа упрощается. Обозначим через . Тогда

,

,…,

.

С учетом введенных обозначений формула Лагранжа запишется так:

.

Запишем формулу Лагранжа в случае, если :

.

Получили формулу линейной интерполяции (5.25):

.

Здесь - табличные разности первого порядка.

При получаем формулу квадратичной интерполяции (5.26):

.

Здесь - табличные разности второго порядка, и так далее. Продолжая этот процесс, окончательно получим:

.

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.24)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.27).

Если обозначить через , то с учетом введенного обозначения, получим:

, …,

.

Тогда формула (5.43) примет вид:

.

Эта формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.39)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.40).

Поиск по сайту: