Линейная оболочка системы векторов. Теоремы о базисе и размерности линейной оболочки

Пусть - система векторов из векторного пространства V над полем P.

Определение 2: Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

Можно показать, что для любых двух систем A и B,

1. A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда (1)

2. A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B). (2)

Доказательство следует из предыдущего свойства

3. Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V.

Доказательство

Возьмём любые два вектора х и у из L(A) имеющие следующие разложения по векторам из A:

Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия:

1. так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

2. так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

Рассмотрим теперь матрицу Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается Lr(A). Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается Lc(A). Обратите внимание, что при строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств Pn и Pm соответственно. Пользуясь утверждением (2), можно придти к следующему выводу:

Теорема 3: Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.

Теорема. Размерность ЛО L(X1,X2...Xn) векторов (X1,X2...Xn) равна максимальному числу линейнонезависимых векторов в системе векторов (X1,X2...Xn). В частности если все векторы (X1,X2...Xn) линейнонезависимы, то размерность ЛО равна числу векторов, а сами эти векторы образуют базис

Билет

Поиск по сайту: