Понятие матрицы

Матрицей размером m*n называется прямоуг. таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющ. матр. называют элементами матр. Сложение матриц: 1. коммутативно, 2. ассоциативно, 3. 0, 4.-А; Умнож-е на число: 1. дистрибутивно относит-но слож-я матриц. 2. дистрибут. отн-но слож-я чисел, 3. ассоциативно относит-но умнож-я матр. 4. ассоциатив. отн-но умнож-я чисел.. Умнож-е матриц: 1. ассоциативно, 2. дистрибут. отн-но слож матр 3. некоммутативно в общем и частном случае

Понятие определителя n-ого порядка. Определителем матр. А n-ого порядка наз-ся число, полученное из эл-ов матр. по след. правилу: 1) определит. н-ого порядка равен алгебраической сумме n! членов. 2) Каждый член суммы представляет собой произведение n-элем-ов, взятых по одному из кажд строки и кажд столбца матр. 3) член суммы берется со знаком (+), если перестановки, образованные первыми и вторыми индексами эл-ов a_ij? входящих в произведение одинаковой четности и со знаком (-) в противоположном случае. Cв-ва:1. опередел. не измен-ся если кажд строку замен столбц с тем же ном-ом (транспониров-е), 2. при перестановке двух строк определит меняет знак, 3. опред с двумя одинак строками равен 0, 4. если все эл-ты опред усножить на одно и то же число, то знач опред умнож-ся на то же число. 5. опред с двумя пропорцион строками равен 0, 6. опред не меняет своего знач-я, если ко всем эл-там к-л его строки прибавить соответств. эл-ты др строки, умножен. на одно и то же число, 7. если все эл-ты к-л строки опред. равны 0, то опред равен 0. 8. опред произвед квадратн матриц равен произвед опред-й этих матриц

Миноры. Определитель подматрицы к-ого порядка матрицы А называетс минором к-ого порядка А. Алгебраич дополнением (Aik) эл-та aik наз-ся его минор, взятый со знаком(-1)i+k. Т1. каждый опред-ль равен сумме произв эл-ов любой его строки (столбц) на их алг допол. Т2. сумма произв эл-ов люб строки(стлб) опред-ля на алгебраич дополн соответств эл-ов др. стр(стлб) равна 0.

Обратные матрицы. Матр А^-1 наз-ся обратной по отнош-ю к квадр матр А, если при умнож-и этой матр на данную как справа так и слева получ-ся ед-ная матр Е. значит матр А обратима. Обратима только квадратн матр. Матр яв-ся обратимой если ее определитель отличен от 0 и матрица наз-ся невырожденной. Т3. обратн матр А^-1 сущ-ет и единственна только тогда когда исходная матр невырожд. Необходим-ть: |A^-1*A|=|A^-1|*|A|=|E| значит |A^-1|=1/|A| Достаточность: АА^*=А^*А=|A|E, A(1/|A|*A^*)=(1/|A|*A^*)A=E Единственность: пусть сущ-ет матр Х=/А¹. значит Х*А=Е умножим это рав-во на А^-1 справа. Х*А*А^-1=Е*А^-1, Х*Е=Е*А^-1 или Х=А^-1 таким образом не сущ-ет обратн матр Х отличной от А- 1. Св-ва: 1) (А^-1)^-1=А, 2) (А^-1)^т=(А^т)^-1 3) |A^-1|= 1/|A| 4) (AB)^-1=B^-1A^-1

билет 5. Рангом матр А наз-ся наивысш порядок отличных от 0 миноров этой матр. Св-ва: 1. ранг нулевой матр рав 0, 2. r(A)<=min(m,n) 3. r(A)=n у матр n-ого порядка т и т т, к опред матр А отлич от 0. Для опред. ранга матр. нужно привести её к ступенчатому виду. кол-во ненулевых строк полученной матр это и есть ранг исходной матр.

Элементарные матр. Кв. матр., получающаяся из единичн. матр в рез-те элемент преобразов над строками наз-ся элементарной матр соответствующей этому преобразов. Любая элемент матр обратима. Матр обратная элемент-ой так же элемент-на. 2) произвед-е элемент-ой матр яв-ся обратимой матр. 3) Если матр В получена из матр А в рез-те элемент. преобраз-я фи, то В=Ефи*А где Ефи – это элемент матр соответсвующая элемент преобразов-ю фи. 4) Если матр В получена из матр А при помощи цепочки элемент преобр фи1,фи2,…,фис, то В=.. Если к-л цепочка элемент преобраз переводит кВ матр в ед матр Е, то матр А обратима и эта цепочка преобразов переводит матр Е в матр А^-1. Правило нахожд обратн матр: для нахожд матр, обратн к матр А размерности н*н надо прямоуг н*2н матр (A|E) при помощи цеп-ки элемент преобраз привести к виду (E|C). Получившаяся матр С яв-ся обратной к матр А.

7.Основные понятия теории систем линейных уравнений. Сист наз-ся однородной, если все ее свободн члены в1,в2,…,вн равны нулю. Решением сист наз-ся такая совокуп-ть н-элементов (С1,С2,..,Сн) кот при подстановке в сист (1) на место неизвестных Х1,Х2,..,Хн обращает все уравнения в тождество. СЛУ наз-ся совместной, если она имеет хотябы одно реш-е. Совместная СЛУ наз-ся определ-ой если она имеет 1 реш-е Элементарн преобраз-я СЛУ: 1) перестановка любых двух ур-й сист, 2) умнож-е обеих частей к-л ур-я на число, отличн от 0, 3) прибавлен к к-л ур-ю сист др ур-я, обе части кот умнож на число, 4) исключ-е из сист или присоедин к сист лин ур-я, все коэф-ты кот и свободн член равны 0

8. Исследование СЛУ СЛУ совместна т и тт, к эквивалентн ей ступенчатая сист не содержит противоречивого ур-я вида 0=в, где в – число, отличное от 0. СЛУ яв-ся определен т и тт, к число ур-й эквивал ступенчат сист равно числу неизвестн. Т5(Кронекера-Копелли) СЛУ совместна т и тт, к ранг основн матр равен рангу расширен матр.

9.Фундаментальная система решений (ФСР) Утв.1: если х-реш-е сист, а лямда – произвольное число, лямда Х так же яв-ся реш-ем сист. Если Х и У –реш-я сист, то Х+У – снова реш-е сист. Реш-я е1, е2,..,ен сист(5) наз-ся ЛНЗВ, если лин комбин этих реш-й равна 0-вому столбцу, только при услов что все лямды равны нулю. ФСР однородн СЛУ наз-ся ЛНЗВ сист реш-й е1,е2,..,ен, такая что каждое реш-е сист(5) яв-ся лин комбин реш-й е1,е2..ен. Алгоритм нахожд ФСР: 1) приведем сист к ступенчат виду, 2) если r=n, то сист не имеет ФСР, если r<n, то свободн неизв-ым X_r+1, X_r+2,…,X_r+n надо придать знач-я 1,0,…0 и вычисл знач-я главных неизв Х1,Х2,…,Хн. Получить при этом некот реш-е Еr+1 сист(5). далее свободн неизв Xr+1, Xr+2…Xr+n придать знач-я 0,1,…,) и получить реш-е Еr+2 и т.д.

Утв 2: сумма люб реш-я неоднородн сист с люб реш-ем соответств однородн сист представляет собой реш-е данной неоднородн сист. Утв 3: Разность двух произвольных реш-й неоднородн сист яв-ся реш-ем соответств однородн сист.

10. Правило Крамера: Если определитель сист отличен от 0, то СЛУ имеет единств реш-е, выражаемое формулой: Х1=|A1|/|A|, X2=|A2|/|A|…Xn=|An|/|A| где Ак – это матр получаемые из матр А заменой к-го столбца столбцом свободн членов. Если сист n лин ур-й с n неизв не имеет реш-й, имеет более 1-го реш-я, имеет нулевые реш-я, то опред сист равен 0.

11. Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где x, y – действительные числа, а i- мнимая ед. Показательная форма комплексного числа: Z=e^iɸ Тригонометрическа я форма компл числа: Z=r(cosɸ+isinɸ). Для геометрического изображения компл чисел используется координатная плоскость Оху.

12. Сумма(разность): Z1+(-)Z2=X1+(-)X2+i(Y1+(-)Y2) Произведение: Z1*Z2=(X1X2-Y1Y2)+i(X1Y2+X2Y1) деление: Z1/Z2=((X1X2+Y1Y2)+i(X2Y1-X1Y2))/X2²+Y2² В тригонометрической:

13. нахождение корней: Корнем n-й степени (n ∈ N, n ≥ 2) из числа z называется любое комплексное число u, для которого uⁿ = z. Операция нахождения всех корней n-й степени из числа z называется извлечением корня.

Для нахождения всех корней n-й степени существует следующая формула:

14.Векторы. Вект-ом на плоскости или в простр-ве наз-ся направленный отрезок, имеющий начальную и конечную т-ки. Длиной в-ра наз-ся число, равное длине отрезка АВ, изображающ в-р. В-р длина кот=го равна 1 наз-ся единичн. В-р начало и конец кот совпадают наз-ют 0-вым. В-ры, леж на 1-ой прямой наз-ют колиниарными. Суммой в-ров а и в наз-ся в-р с, нач. кот. совпадает с началом в-ра а, а конец с концом в-ра в. Этот способ построения суммы в-ров наз-ся правилом треуг-ка. Если на в-рах а и в как на сторонах построить параллелограмм, то большая диагональ будет суммой в-ров а и в. Этот способ наз-ся правилом параллелограмма. Аналогично определ-ся сумма неск-ких в-ров. Правило многоугольника. Произведением в-ра а на число ɣ наз-ся в-р b=ɣа, имеющий длину |b|=|ɣ||a| и направлен кот совпадает с направл а, если ɣ>0 и противоположно ему, если ɣ<0. Линейные операции над векторами в координатах: 1.на плоскости:1)a+b=(x₁+x₂,y₁+y₂); 2) ɣa=(ɣx, ɣy); 3) |a|=√x²+y² 2. в пространстве: аналогично, только не две, а три координаты.

15. Скалярное произведение в-ров. Скалярн произв двух в-ров а и в наз-ся число, равное произвед длин этих в-ров на cosɸ, где ɸ-угол м-у ними. Скалярное произвед-е на плоскости: а*в=х₁х₂+у₁у₂; в простр-ве: а*в= х₁х₂+у₁у₂+z₁z₂.

16. Уравнением линии на плоскости Оху наз-ся ур-я, кот. удовлетвор. координат. х и у каждой точки, лежащ. на этой линии и не удовлетворяют координ. любой т-ки, не лежащ. на этой линии. В общем случае ур-е линии м.б. записано в виде: F(x,y)=0, y=f(x). Любая линия 1-го порядка Ах+Ву+С=0(1), где А²+В²не=0: 1) есть прямая, причем (-В,А) – координ. направляющ. в-ра. Уравнение (1) наз-ся общим ур-ем прямой. х=х₀+ta₁, y=y₀+ta₂ – параметрические ур-я прямой. (x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁) – каноническое ур-е прямой. х/а+у/в=1 – ур-е прямой в отрезках. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: а: А₁х+В₁у+С₁=0, в=А₂х+В₂у+С₂=0. прямые а и в: пересекаются когда А₁/А₂ не=В₁/В₂, совпадают когда А1/А2=В1/В2=С1/С2, параллельны когда А1/А2=В1/В2не=С1/С2. Нахождение расстоян. от т-ки до прямой: М(х₀,у₀), d=Ax+By+C ρ=|Ax₀+By₀+C|/√A²+B² Направленным углом м-у прямыми а и в наз-ся напр-й угол а и в, т.е. направленный угол м-у двумя прямыми заключен между пи на 2 и минус пи на 2.

Билет

Поиск по сайту: