Евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств.Простейшие свойства евклидовых пространств

Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и z из L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

Для любых трёх векторов x, y и z евклидова пространства E со скалярным призведением (x, y) и любого действительного числа α справедливо:

(x, α·y) = α·(x, y),

(x, y + z) =(x, y) + (x, z),

(x, 0) = 0,

(0, x) = 0,

если (x, y) = 0, для любого y∈ E, то x = 0.

Примеры евклидовых пространств: Векторное пространство геометрических векторов на плоскости, Арифметическое векторное пространство, Векторное пространство непрерывных на сегменте а,в функций(С[a,b])

Билет

Линейные преобразования(операторы).Основные понятия и свойства.Операции над линейными преобразованиями.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A(u + v) = A(u) + A(v), A(α·u) = α· A(u).

Множество векторов y линейного пространства Y, для каждого из которых существует такой вектор x из линейного пространства X, что y = A(x) называется образом оператора A:

Im(A) = {y | y = A(x), x∈ X}, Im(A) ⊆ Y.

Образ линейного оператора — линейное подпространство пространства Y. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора: rank A = dim (Im A); rank A = rang A = rg A = Rg A.

Множество векторов x линейного пространства X, которые оператор A отображает в нуль пространства Y, называется ядром оператора A:

Ker(A) = {x | A(x) = 0, x ∈ X, 0 ∈Y},Ker(A) ⊆ X.

Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства X. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора:def A = dim(KerA).

Операторы A и B, действующие из X в Y называются равными, если A(x) = B(x) для всех x из X:

A: X → Y, B: X → Y, A = B если A(x) = B(x), ∀x∈X.

Операторы A и B действуют из X в Y. Оператор C, действующий из X в Y, называется суммой операторов A и B, если C(x) = A(x) + B(x) для всех x из X:

A: X → Y, B: X → Y, C = A + B если C: X → Y, и C(x) = A(x) + B(x), ∀x∈X.

Оператор A действует из X в Y. Оператор C, действующий из X в Y, называется произведением оператора A на число α, если C(x) = α·A(x) для всех x из X:

A: X → Y, C = α·A если C: X → Y, и C(x) = α·A(x), ∀x∈X.

Оператор A действует из X в Y, оператор B действует из Y в Z. Оператор C, действующий из X вZ, называется произведением операторов A и B, если C(x) = A(B(x)) для всех x из X

A: X → Y, B: Y→Z, C = B·A если C: X →Z, и C(x) = B(A(x)), ∀x∈X.

Сумма A + B линейных операторов, произведение линейного оператора на число α·A и произведениеB·Aлинейных операторов — линейные операторы.

Для операторов A + B, α·A и A·B, действующих в соответствующих пространствах, справедливо:

A + (B + C) = (A + B) + C;

α· (A + B) = α· A + α·B;

α· (B·A) = (α·B) ·A;

(A·B)·C = A·(B·C);

(A + B)·C = A ·C+ B·C;

A·(B + C)= A·B + A·C;

A·I = I ·A.

Билет

Поиск по сайту: