Изометрические вложения. Рефлексивность

Следующий результат устанавливает некоторые свойства двойственности.

Т е о р е м а 1. Пусть линейное нормированное пространство и замкнутый единичный шар в нем. Пусть также замкнутый единичный шар в . Тогда

I.

II. .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Соотношение I следует из определения опера-торной нормы.

Для доказательства II фиксируем . Отображение определяет линейный функционал на . Кроме того,

.

Следовательно, определяет линейный непрерывный функционал и . С другой стороны, по одному из следствий теоремы Хана – Банаха найдется такой ,что и . Но тогда для будем иметь

Отсюда и, следовательно, .

œ

Из теоремы 1 следует, что каждый порождает элемент из . При этом отображение является изометрическим вложе-нием.

О п р е д е л е н и е. Если изометрическое вложение сюръек-тивно, то называется рефлексивным пространством.

Т е о р е м а 2. Если нормированные пространства и , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из теоремы 1 и определения нормы оператора получается

.

œ

Поиск по сайту: