АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Спектральное разложение самосопряженного компактного оператора

Читайте также:
  1. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  2. Билет 11. Договор между инициативным и рецептивным туроператорами.
  3. Билет 13 Угол между 2 мя прямыми , условия параллельности и перпендикулярности. Преобразование линейного оператора при переходе к новому базису
  4. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
  5. Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
  6. Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
  7. Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
  8. Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).
  9. Билет10 Различные уравнения плоскости, угол между плоскостями. Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.
  10. Вопрос. Разложение аналогового сигнала в ряд Фурье.
  11. Действие оператора на координаты вектора.
  12. Действия над линейными операторами

 

Из теории Фредгольма следует, что любое , принадлежащее спект-ру компактного оператора, является его собственным значением.

Т е о р е м а 1 (О т о ч е ч н о м с п е к т р е к о м п а к т н о г о с а м о с о п р я ж е н н о г о о п е р а т о р а). Всякий компактный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовой пространстве ненулевой размерности, имеет хотя бы одно собственное значение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В предыдущем параграфе была установлена формула

.

 

Выберем последовательность точек единичной сферы, для которой при . Поскольку значения вещественны, то можно считать сходящейся и саму последовательность . Ее предел удовлетворяет условию . Покажем, что является собственным значением оператора . В силу компактности оператора най-дется подпоследовательность , для которой сходится. Пусть ее предел. Поскольку , то

 

.

 

С другой стороны,

.

 

Поэтому и при . Последнее означает, что

при . Но тогда

,

 

т.е. является собственным вектором, отвечающим собственному значению .

œ

З а м е ч а н и е. Из доказательства теоремы следует, что наибольшее по модулю собственное значение удовлетворяет условию

 

,

 

а вектор, на котором этот максимум достигается, является собственным вектором.

Отмеченное экстремальное свойство указывает практический способ отыскания собственных значений компактного самосопряженного оператора.

Т е о р е м а 2 (Г и л ь б е р т а – Ш м и д т а). Пусть компактный самосопряженный оператор, действующий в комплексном гильбертовом пространстве . Тогда существует конечная или счетная ортонормированная система собственных векторов , отвечающая ненулевым собственным значениям , такая, что каждый элемент единственным образом представляется в виде

,

 

где , а , т.е. . При этом

 

. (4.1)

 

Доказательство теоремы приведено в [1].

З а м е ч а н и е. Формула (4.1) дает спектральное разложение компактного самосопряженного оператора. Если сепарабельное прост-ранство, то можно в выбрать ортонормированную систему, которая вместе с будет образовывать базис в . Таким образом, в сепарабельном гильбертовом пространстве можно выбрать ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов компактного самосопряженного опера-тора.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)