Описание сопряженных пространств

Пространство, сопряженное к пространству Лебега

Т е о р е м а 1. Пусть , , пространство с конечной мерой. Пространство изометрически изоморфно прост-ранству . Соответствующий изоморфизм задается формулой

. (3.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда формула (3.1) определяет линейный функционал на и в силу неравенства Гельдера имеем

.

Отсюда видно, что функционал ограничен и . Таким образом, уста-новлено включение .

Остается доказать, что любой функционал можно представить в виде (3.1) с некоторой функцией и .

Пусть . Для имеем и поэтому определено отобра-жение (или ) по формуле . Если причем пере-сечение и пусто при , то и ряд сходится в пространстве . Поэтому линейность и непрерывность влечет

.

Тем самым доказана счетная аддитивность . Последнее означает, что

заряд (комплекснозначный). Более того, является абсолютно непрерыв-ным относительно меры . Действительно, если , то почти всюду равна нулю, т.е. является нулем в и . Поэтому в силу теоремы Радона – Никодима существует такая функция , что

.

Покажем теперь, что и что выполняется (3.1) для каждой . В случае когда индикатор, представление (3.1) проверяется непосред-ственно

.

В силу линейности функционала и интеграла Лебега представление (3.1) распространяется и на простые функции. Для ограниченной измеримой функции можно построить последовательность простых измеримых функ-ций , сходящихся равномерно к . В силу теоремы Лебега и непрерыв-ности функционала предельный переход в равенстве

.

дает представление (3.1) и в этом случае.

Рассмотрим для каждого натурального функции

, , где

Эти функции ограничены, измеримы и

,

.

Записывая теперь неравенство с учетом полученных соотноше-ний, имеем

.

Поскольку при всех , то применение теоремы Фату дает

.

Таким образом, совпадает на множестве ограниченных функций с функцио-налом, задаваемым формулой (3.1). Поскольку множество ограниченных функций плотно в , то это совпадение распространяется на все прост-ранство и теорема доказана.

Пространство, сопряженное к гильбертову пространству.

Т е о р е м а 2. Пусть гильбертово пространство. Тогда существует единственный элемент такой, что

. (3.2)

При этом . Обратно, формула (3.2) определяет функционал с нормой .

Доказательство теоремы приведено в [1, стр. 202 - 203].

Поиск по сайту: