Спектр оператора. Резольвента

Уравнение Фредгольма второго рода можно записать в операторной фор-ме , где компактный оператор, действующий в банаховом про-странстве . Его разрешимость тесно связана со свойствами уравнения , которое можно заменить на уравнение . Изучение последнего тесно связано с важным понятием спектра оператора.

О п р е д е л е н и е. Число называется регулярным для , ес-ли биекция с ограниченным обратным. Оператор называется резольвентой. Совокупность тех , которые не являются регу-лярными, образуют спектр оператора .

З а м е ч а н и е. Если банахово пространство, то по теореме Банаха об обратном операторе из биективности следует ограниченность .

О п р е д е л е н и е. Пусть банахово пространство и . Число называется собственным значением оператора , если уравнение имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значе-ний из называется точечным спектром, а остальная часть – непрерыв-ным спектром.

З а м е ч а н и е. У конечномерного оператора отсутствует непрерывный спектр.

О п р е д е л е н и е. Если является собственным значением, то подпространство собственных векторов оператора , отвечающих собственному значению . Кратностью собственного значения называется число .

З а м е ч а н и е. инвариантно относительно и на .

Т е о р е м а 1. Совокупность собственных векторов, отвечающих различ-ным собственным значениям, линейно независима.

Л е м м а (о п о ч т и п е р п е н д и к у л я р е). Пусть подпростран-линейного нормированного пространства и . Тогда

и .

С л е д с т в и е 1. Единичный оператор, действующий в бесконечномер-ном пространстве, некомпактен.

С л е д с т в и е 2. Ненулевое собственное значение компактного опера-тора имеет конечную кратность.

Поиск по сайту: