|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Теория ФредгольмаЗдесь мы рассмотрим взаимосвязь между разрешимостью уравнений
(7.1) и (7.2)
Уравнение (7.2) называется однородным уравнением уравнения (7.1). Опера-тор будем считать компактным, действующим в банаховом пространстве . Для удобства будем обозначать . Наряду с уравнениями (7.1) и (7.2) будем также рассматривать сопряженные к ним
(7.1¢)
и (7.2¢)
А. Замкнутость подпространства Для доказательства этого результата нам потребуется одна лемма. Л е м м а. Пусть конечномерное подпространство нормированного пространства . Тогда существует такое замкнутое подпространство , что
и .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в базис . Каждый элемент единственным образом представим в виде
.
При этом можно рассматривать как линейные функционалы, определенные на . Поскольку конечномерно, то являются непре-рывными функционалами. По теореме Хана – Банаха они с сохранением нормы продолжаются на все пространство . Пусть этими функционалами являются . Тогда .
В силу непрерывности подпространство является замкнутым. Определим и покажем, что это – искомое подпространство. Его замкнутость следует из замкнутости . Если произвольный элемент из , то
принадлежит . Кроме того, для каждого получаем
,
т.е. . Следовательно, .
Остается заметить, что в силу независимости подпространство пересекается с лишь по нулевому элементу. Т е о р е м а 1. Пусть компактный оператор, действующий в банаховом пространстве . Тогда для образ оператора является замкнутым подпространством в . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из свойств спектра компактного оператора следует, что конечномерно. По лемме существует замкнутое подпространство такое, что и . Рассмотрим сужение оператора на подпространство . Обозначим его . Поскольку , то инъекция. Сюръективность этого отображения следует из равенства . Докажем также, что (7.3)
при некотором . Действительно, в противном случае нашлась бы такая последовательность , что
и при .
В силу компактности оператора из последовательности можно выде-лить сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не менять обозначений, будем считать, что сама последовательность сходится. Обозначим ее предел через . Но тогда из условия
следует, что . Поэтому и
.
Однако в этом случае
,
что противоречит условию , т.к. мы получили . Таким образом, условие (7.3) доказано. Пусть теперь , т.е. , где . Обозначим . В силу неравенства (10) эта после-довательность фундаментальна. Из полноты пространства и замкнутости подпространства следует принадлежность предела подпрост-ранству . Но тогда и .
Б. Соотношения между линейным и сопряженным к нему уравнениями Напомним, что условие разрешимости уравнения (7.1) эквивалентно принад-лежности правой части подпространству . Т е о р е м а 2. Пусть линейный ограниченный оператор, действующий в нормированном пространстве и такой, что замкнутое подпрост-ранство. Тогда тогда и только тогда, когда . Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть , т.е. для некоторого . Тогда для любого будем иметь
.
Достаточность. Допустим противное, т.е. и . Поскольку замкнуто, то расстояние от до положительно. Пусть такое, что .
На подпространстве определим линейный функционал по формуле , .
Этот функционал ограничен, поскольку при и выполнено ,
т.е. . По теореме Хана – Банаха можно продолжить до некоторого функционала с сохранением нормы. Но тогда будем иметь
,
что означает принадлежность подпространству . С другой стороны, по построению имеем
,
что противоречит предыдущему. С л е д с т в и е. Если для компактного оператора уравнение (7.2¢) имеет только нулевое решение, то уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части. Т е о р е м а 3. Пусть компактный оператор, действующий в банаховом пространстве и . Тогда
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть , т.е. для некоторого из . Тогда для любого будем иметь
.
Достаточность. В силу свойств спектра компактного оператора подпростран-ство конечномерно. Согласно лемме, доказанной в начале параграфа, существует такое замкнутое подпространство , что
и .
Сужение оператора на является биекцией . Пусть теперь и для него выполняется условие теоремы. Определим на линей-ный функционал по формуле
. Из теоремы 1 следует замкнутость . Поэтому в силу теоремы Банаха об обратном операторе является ограниченным и .
Следовательно, является ограниченным на функционалом и . По теореме Хана – Банаха его можно продолжить с сохране-нием нормы до функционала . Но тогда, если произвольный эле-мент из , то представляя его в виде , , , получаем
.
Таким образом, и теорема доказана. С л е д с т в и е. Если для компактного оператора уравнения (7.2) имеет только нулевое решение, то уравнение (7.1¢) разрешимо для любой правой части.
В. Альтернатива Фредгольма Следующий результат устанавливает соотношение между уравнением (7.1) и соответствующим уравнением (7.2). Т е о р е м а 4. Пусть компактный оператор, действующий в банаховом пространстве и . Тогда либо уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части, либо однородное уравнение (7.2) имеет ненулевые решения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим вначале, что , т.е. уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части. Нам нужно тогда доказать, что . Допустим противное, т.е. ненулевое подпространство. Определим для натуральных подпространства . Поскольку , то . Покажем, что это – строго возрастающая последовательность подпространств. Действительно, если принадлежит , то решение уравнения принадлежит , но не принадлежит . Таким образом, имеет место строгое включение . Аналогично устанавливаются включения , . Далее, используя лемму из предыдущего параграфа, построим последовательность , удовлетворяющую условиям: , и . Выполнимость условий леммы следует из конечномерности подпространств . Выберем теперь произвольные натуральные и , . Пусть для определенности . Тогда принадлежат подпространству , а и расстояние от него до не меньше единицы. Используя это замечание, получаем .
Последнее означает невозможность выделить из сходящейся под-последовательности, что противоречит компактности оператора . Полученное противоречие показывает, что предположение неверно. Обратно. Допустим, что , т.е. однородное уравнение (7.2) имеет только нулевое решение. Тогда по теореме 3 уравнение (7.1¢) разрешимо при любой правой части . Из доказанной части теоремы, примененной к оператору , имеем, что . Но тогда, в силу теоремы 2, уравнение (7.1) разрешимо при любой правой части. З а м е ч а н и е. В случае разрешимости уравнения (7.1) при любой правой части имеет место также единственность решения, поскольку в этом случае . С л е д с т в и е. Пусть компактный оператор, действующий в банахо-вом пространстве . Тогда всякое ненулевое является собственным значением оператора . Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы Банаха об обратном операторе не может быть биекцией. Но тогда в силу альтернативы Фредгольма . Однако, это и означает, что существует собственный вектор, отвечающий значению .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |