Ограниченные операторы

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Ограниченные операторы

А.Пространство ограниченных операторов

Пусть линейные нормированные пространства над полем . Через обозначим совокупность всех ограниченных операторов, дейст-вующих из в . Заметим, прежде всего, что является линейным пространством. Действительно, если и ограниченные операторы, то можно выбрать так, чтобы для всех выполнялись неравенства

Но тогда

т.е Аналогично устанавливается ограниченность оператора для и ограниченного оператора .

Пространство можно рассматривать как нормированное, опре-делив

З а м е ч а н и е. Если то

Кроме того,

Покажем теперь, что для операторной нормы выполняются все аксиомы.

Действительно, если то Но тогда и . Свойство очевидно. Остается проверить неравенство треу-гольника. Для этого заметим, что оно следует из неравенства

Т е о р е м а 1. Пусть нормированное пространство, а банахово пространство. Тогда является банаховым пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть фундаментальная последователь-ность в . Нам нужно доказать, что она сходится в пространстве . Для каждого последовательность является фундаментальной в пространстве . Это следует из неравенства

и фундаментальности последовательности . Таким образом, для каждого определен предел

Очевидно, что является линейным оператором. Нужно доказать, что он ограниченный и что при . Фиксируем произвольно . В силу фундаментальности последовательности найдется такой номер , что при выполняется неравенство . Но тогда для любого будем иметь

Осуществляя в этом неравенстве предельный переход при , получим

Это означает ограниченность оператора и, что

Из ограниченности операторов и следует ограниченность опера-тора . Поскольку неравенство можно за счет выбора номера сделать справедливым для любого , то и вторая часть утверж-дения доказана.

œ

О п р е д е л е н и е. сопряженное пространство прост-ранству .

З а м е ч а н и е. Из теоремы 1 следует, что для любого нормированного пространства сопряженное пространство является банаховым.

Б. Алгебра операторов

Пусть банахово пространство. Обозначим Из теоре-мы 1 следует, что также является банаховым пространством. Поскольку операторы из действуют из в , то наряду со структурой линейного пространства в можно ввести операцию произведения операторов

Оператор будет непрерывным, поскольку композиция непрерывных ото-бражений является непрерывной. Введенная операция обладает свойствами

Оператор , единичный, обладает свойством

для любого оператора Таким образом, образует алгебру.

Л е м м а 1. Пусть банахово пространство и . Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого имеем

Из определения нормы следует, что

œ

Наличие в линейных операций и операции умножения позволяет рассмотреть полиномы, у которых в качестве переменной выступает опера-тор из :

Очевидно, что . Используя степенные ряды в , можно опре-делить и более сложные операторные функции. Особенно важное значение имеет функция, представляющая сумму ряда Неймана, аналог геомет-рической прогрессии,

Пусть частичная сумма ряда Неймана. Сходимость ряда эквивалентна фундаментальности последовательности . В частности, необходимым условием является . Кроме того, из равенства

.

следует также, что в случае сходимости ряда Неймана, его сумма удовлет-воряет равенству

,

т.е. обратный оператор к .

Т е о р е м а 2. Пусть банахово пространство и , . Тогда ряд Неймана сходится и его сумма представляет собой оператор, обратный к .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Остается установить сходимость ряда. Это следует из того, что , т.е. ряд мажорируется сходящимся числовым рядом, что является достаточным условием.

œ

В. Компактные операторы

Напомним, что ограниченный оператор переводит ограниченные мно-жества в ограниченные.

О п р е д е л е н и е. Оператор , действующий в банаховом прост-ранстве , называется компактным, если он ограниченные множества пере-водит в предкомпактные.

З а м е ч а н и е. В нормированном пространстве конечной размерности каждый ограниченный оператор является компактным.

Т е о р е м а 3. Пусть банахово пространство, и ком-пактный оператор. Тогда и являются компактными операторами.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно.

œ

Обозначим через совокупность компактных операторов, дейст-вующих в банаховом пространстве. образует линейное подпростран-ство в .

Т е о р е м а 4. является замкнутым подпространством в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и по норме пространства . Нам нужно доказать, что компактный оператор. Для этого достаточно показать, что для всякой ограниченной последовательности последовательность допускает выделение сходящейся под-последовательности. В силу компактности оператора из можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в . Из этой подпосле-довательности можно выделить подпоследовательность так, чтобы схо-дилась последовательность и т.д.. Подпоследовательность удов-летворяет условию и является сходящейся для любого . Покажем, что и последовательность сходится. Для этого достаточно проверить ее фундаментальность.

Пусть такое, что для любого . Фиксируем произвольно и выберем так, чтобы

.

Затем выберем так, чтобы при выполнялись неравенства

.

Но тогда

.

œ

§ 2.Основные принципы функционального анализа

В анализе важное значение имеют результаты, связанные с продолже-нием функций с множеств на все пространство с сохранением свойств. К этому кругу результатов относится классический результат линейного анализа – теорема Хана-Банаха, известный как принцип продолжения.

Т е о р е м а 1.5. (Х а н а – Б а н а х а). Пусть линейное нормированное пространство и подпространство в нем. Тогда для любого существует такой , что для всех и

.

Доказательство приведено в курсе функционального анализа.

Пусть и . Как известно [1, стр. 137 – 139], линейный функционал вполне определяется гиперплоскостью . Пусть расстояние от до нуля. Поскольку для любого выполняется неравенство

то . С другой стороны, из определения нормы следует, что

.

Но тогда элемент будет принадлежать и для него

,

т.е.

.

Следовательно,

.

Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем .

В результате,

.

Л е м м а 2. Пусть банахово пространство и произвольный не-нулевой элемент в нем. Тогда найдется такой функционал , что и .

З а м е ч а н и е. Другими словами, через проходит гиперплоскость и является ближайшим к началу элементом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подпространство . Определим на функционал посредством равенства . Тогда и поскольку

то

.

По теореме Хана-Банаха существует продолжение этого функционала до с сохранением нормы, т.е. и .

Т е о р е м а 6. (о д о с т а т о ч н о м ч и с л е л и н е й н ы х н е -

п р е р ы в н ы х ф у н к ц и о н а л о в). Пусть банахово пространство и . Тогда найдется такой , что .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим . По условию . Следовательно, найдется , для которого и . Поскольку , то теорема доказана.

œ

Следующая теорема имеет важное значение в теории операторов, ее относят к одному из основных принципов функционального анализа, так называемому принципу равномерной ограниченности.

Т е о р е м а 7. (Б а н а х а – Ш т е й н г а у с а). Пусть банахово пространство и семейство линейных ограниченных операторов, дейст-вующих из в нормированное пространство . Тогда если для каждого конечен

,

то и

.

В завершение данного параграфа приведем еще два важных факта функционального анализа – принцип открытости отображения и теорему Банаха об обратном операторе.

Т е о р е м а 8. (п р и н ц и п о т к р ы т о с т и о т о б р а ж е н и я). Пусть линейный ограниченный оператор, отображающий бана-хово пространство на банахово пространство , т.е. является сюръек-цией. Тогда каждое открытое множество переводится в открытое мно-жество пространства .

Т е о р е м а 9. (Б а н а х а о б о б р а т н о м о п е р а т о р е). Пусть линейный ограниченный оператор, осуществляющий биекцию банахова пространства на банахово пространство . Тогда обратный опе-ратор также является ограниченным.

Доказательства теорем 7 – 9 приведены в курсе функционального анализа.

Поиск по сайту: