АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Сопряженный оператор

Читайте также:
  1. XIV. ОПЕРАТОРЫ ЯЗЫКА ПАСКАЛЬ
  2. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  3. Билет 1. Понятие туроператорской деятельности.
  4. Билет 11. Договор между инициативным и рецептивным туроператорами.
  5. Билет 13 Угол между 2 мя прямыми , условия параллельности и перпендикулярности. Преобразование линейного оператора при переходе к новому базису
  6. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
  7. Билет 15. Договор комиссии между туроператором и турагентом.
  8. Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе
  9. Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
  10. Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
  11. Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.
  12. Билет 40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).

 

Пусть линейные нормированные пространства и ли-нейный ограниченный оператор. Для каждого композиция будет представлять линейный непрерывный функционал на , т.е. . Таким образом, определено отображение , действующее по формуле

.

Это отображение называют сопряженным оператором к оператору . Его определение особенно естественно выглядит в терминах двойственности:

 

.

 

Следующий результат показывает, что отображение является изометрическим изоморфизмом пространств и .

Т е о р е м а 1. Пусть линейные нормированные пространства и линейный ограниченный оператор, действующий из в . Тогда линейный ограниченный оператор, действующий из в , и

 

.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем вначале линейность оператора . Пусть произвольные элементы из . Тогда будем иметь

 

т.е. .

Аналогично, если и , то

 

,

 

т.е. . Линейность доказана.

Наконец, используя соотношения двойственности, получим

 

.

Таким образом, и .

œ

Т е о р е м а 2. Пусть банаховы пространства. Оператор

компактен тогда и только тогда, когда, когда компактен оператор .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим вначале, что . Нам нужно показать, что единичный шар пространства переводится посредством в предкомпактное множество. Пусть . Определим на последовательность функций

 

.

 

Множество является предкомпактным и для

,

 

т.е. семейство равностепенно непрерывно. Оно также равномерно ограничено

.

 

По теореме Арцела из него можно выделить равномерно сходящуюся на подпоследовательность . Замечая, что

 

 

приходим к фундаментальности последовательности . Поскольку банахово пространство, то эта последовательность сходится и компакт-ность оператора доказана.

Обратное утверждение можно вывести аналогичными рассуждениями. Однако, можно воспользоваться уже доказанным.

Пусть . По доказанному является компакт-ным оператором. Пусть изометрические вложения. Тогда . Действительно, имеем

 

.

 

Поскольку , то предкомпактное множество. В силу изометричности таковым является и множество , что и доказывает компактность .

œ

В случае, когда операторы действуют в одном и том же пространстве , т.е. , образует алгебру. Следующий результат касается свойств отображения в алгебре .

Т е о р е м а 3. Пусть линейное нормированное пространство над полем и . Тогда

 

.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим последнее соотношение. Пусть и - произвольны. Тогда

 

откуда следует, что . Остальные соотношения проверяются анало-гично.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.152 сек.)