Спектр ограниченного оператора

В этом параграфе мы изучим свойства спектра ограниченного операто-ра а комплексном банаховом пространстве.

Т е о р е м а 1. Пусть ограниченный оператор, действующий в бана-ховом пространстве . Тогда является замкнутым множеством и значная функция является аналитической в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть регулярное значение оператора и . Поскольку , то по теореме 2 предыдущего парагра-фа ряд сходится, а его сумма представляет собой аналити-ческую функцию в круге . Поскольку рассмотренный ряд явля-ется рядом Неймана оператора , то . Определим теперь . Очевидно, что является аналитической в и

Таким образом, является резольвентой оператора и теорема доказана.

œ

Т е о р е м а 2. Пусть ограниченный оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве ненулевой размерности. Тогда непусто и содержится в круге .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда ряд сходится и его сумма является ограниченным оператором, обратным к . Посколь-ку

,

то является регулярным значением и

Отсюда получаем, что .

Осталось доказать непустоту . Допустим противное. Тогда будет операторнозначное функцией, аналитической во всей комплексной плоскос-ти. Кроме того, если , то аналитическая функция

при . По теореме Лиувилля . В силу теоремы единственности о разложении функции в ряд Лорана имеем

, .

Поскольку был произвольным из , то

.

Это означает, что . Последнее противоречит предложению .

œ

Поиск по сайту: