Самосопряженный оператор

Пусть теперь гильбертово пространство над полем . Чтобы не путать обозначения формул двойственности, будем обозначать скалярное произведение в круглыми скобками. Напомним также, что можно отождествить с самим пространством. Более точно, оператор , действующий по формуле

,

осуществляет изометрию между и . При этом

и .

О п р е д е л е н и е. Если линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , то под его гильбертовым сопряженным оператором понимается оператор

, ,

действующий в .

Заметим, что для любых выполняется

.

Другими словами, в основу определения оператора можно положить равенство

.

Говорят, что подпространство является инвариантным относительно оператора , если .

Т е о р е м а 1. Пусть линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве и его инвариантное подпространство. Тогда является инвариантным подпространством оператора .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , . Тогда

.

œ

О п р е д е л е н и е. Линейный ограниченный оператор , действую-щий в гильбертовом пространстве , называется самосопряженным, если . Другими словами, для всех выполняется

.

Т е о р е м а 2. Пусть ограниченный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве . Тогда

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим

.

Из неравенства

,

которое выполняется для любого с нормой , следует, что . Для доказательства противоположного неравенства заметим вначале, что из тождества

следует неравенство

,

которое в силу тождества параллелограмма можно переписать в виде

.

Пусть произвольные ненулевые элементы из и , где . Положим

.

Тогда

.

Полученное выше неравенство запишется в виде

.

Полагая здесь , получаем

.

Следовательно, и теорема доказана.

œ

С л е д с т в и е. Пусть ограниченные самосопряженные опера-торы и . Тогда .

Действительно, и по теореме

.

œ

Т е о р е м а 3. Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть собственное значение и соответ-ствующий ему собственный вектор, т.е. . В силу самосопряженности

.

С другой стороны,

, .

Следовательно, и .

œ

З а м е ч а н и е. Из доказательства следует также формула , которая показывает, что собственные значения положитель-ного оператора, для которого выполняется неравенство при всех , являются неотрицательными.

Т е о р е м а 4. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть собственные значения и

соответствующие им собственные векторы. Тогда

и

.

œ

Поиск по сайту: