ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

1. Матрицы: основные понятия, алгебраические операции и их свойства. Ранг матрицы, элементарные преобразования матриц.

Прямоугольная таблица m×n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называется

прямоугольной (m, n) матрицей или просто матрицей.

Числа m и n называются порядками или размером матрицы.

Ступенчатая матрица — матрица, имеющая m строк, у которой первые r диагональных элементов ненулевые, r ≤ m, а элементы, лежащие ниже диагонали и элементы последних m − r строк равны нулю:

Линейные операции.

Линейными операциями называются операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый

элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых:

.

,

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой

равен произведению соответствующего элемента на число:

.

Для операций сложения и умножения матрицы на число справедливо:

• A + B = B + A,
• A + (B + C) = (A + B) + C,
• α·(A + B) = α ·A + α ·B,
• α·(β ·A) = (α·β) ·A,
• (α + β) ·A = α ·A + β ·A,
• 1· A = A,
• 0· A = Θ.

Здесь A, B, C — произвольные матрицы одинаковой размерности,

Θ — нулевая матрица той же размерности, α и β— произвольные числа.

Определители.

Для каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы.

Определителем матрицы первого порядка называется число, равное единственному

элементу этой матрицы: A = { a }, det A = |A| = a.

Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n> 1:

Определителем квадратной матрицы n-го порядка, n > 1, называется число, равное

где M _{1 j} — определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием

первой строки и j -го столбца.

Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля.

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей

сомножителей.

Определитель 2-го порядка:

Определитель 3-го порядка:

Определитель квадратной матрицы n -го порядка, n >1, равен сумме произведений элементов

любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Определитель квадратной матрицы не менятся при транспонировании матрицы.

Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй:

Произведением матриц A и B называется матрица

элементы которой вычисляются по формуле

,

Произведение матриц A и B обозначается AB: C = AB.

Можно указать порядки матриц: A_mnB_nk = C_mk .

У произведения двух матриц столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов,

сколько их у правого сомножителя. Элемент произведения, расположенный в i -й строке и в j -м

столбце, равен сумме произведений элементов i -й строки левого сомножителя на соответствующие

элементы j -го столбца правого сомножителя.

Произведение матриц некоммутативно: A·B ≠ B·A.

Однако, для любой квадратной матрицы и единичной матицы I справедливо: A·I = I·A.

Для произведения матриц соответствующих порядков и произвольного числа α справедливо:

1. A·B ≠ B·A,

2. (A + B) · C = A·C + B·C;

3. C· (A + B) = C·A + C·B;

4. α(A·B) = (α A) ·B;

5. (A·B) ·C = A· (B·C);

6. (AB)^T = B ^T A ^T, знак ^T означает транспонирование матрицы;

7. det(A · B) = det(A) · det(B), A, B — квадратные матрицы одинаковой размерности;

8. A·I=I·A=A, A — квадратная матрица, I — единичная матрица соответствующей размерности.

Если A·B = B·A, то матрицы A и B называются перестановочными.

Элементарные преобразования.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

· перестановка любых двух строк матрицы;

· умножение любой строки на произвольное, отличное от нуля, число;

· сложение любой строки с другой строкой, умноженной на произвольное число;

· транспонирование матрицы.

Матрица A ^T называется транспонированной по отношению к матрице A = { a_ij }, если A^T= {a _ji }:

Иными словами, матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрице A и обозначается A ^T.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Элементарные преобразования матрицы можно выполнить, умножая её слева или справа на элементарные матрицы (элементарную матрицу перестановок, элементарную матрицу масштабирования и неунитарную элементарную матрицу).

Элементарная матрица перестановок P _ij — квадратная матрица, которая получается перестановкой i -й и j -й строк единичной матрицы.

Перестановку i -й и j -й строк матрицы можно выполнить, умножая её слева на матрицу перестановок P _ij. Перестановку i -го и j -го столбцов матрицы можно выполнить, умножая её справа на матрицу перестановок P_ij.

Элементарная матрица масштабирования R_i (α) — квадратная матрица, которая отличается от единичной матрицы тем, что элемент, расположенный в i -й строке и i -м столбце равен α.

Умножение i- й строки матрицы на число α можно выполнить, умножая её слева на элементарную матрицу масштабирования R_i (α). Умножение i -го столбца матрицы на число α можно выполнить, умножая её справа на элементарную матрица масштабирования R_i (α).

Элементарная неунитарная матрица N _ij (α) — квадратная матрица, которая отличается от единичной матрицы только элементом, расположенным в i -й строке и в j -м столбце; этот элемент матрицы N _ij (α) равен числу α.

Сложение i -й строки матрицы с j -й строкой, умноженной на число α, можно выполнить, умножая ее слева на элементарную неунитарную матрицу N _ij (α). Сложение j -го столбца матрицы с i -м столбцом, умноженным на число α, можно выполнить, умножая ее справа на элементарную неунитарную матрицу N _ij (α).

Ранг.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

То есть, если ранг матрицы равен r, то среди миноров матрицы порядка r есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры матрицы более высоких порядков равны нулю.

Обозначаем Rg A, rg A, rank A.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы. То есть, если ранг матрицы равен r, то среди строк (столбцов) матрицы есть r линейно независимых строк (столбцов), а любые r +1 строки (столбца) — линейно зависимы.

Матрицы, имеющие одинаковый ранг — подобные матрицы.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.

Любой отличный от нуля минор матрицы A порядка rank A называется базисным минором.

Строки (столбцы) матрицы, входящие в базисный минор, называются базисными строками (столбцами) матрицы.

Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы. Остальные строки и столбцы матрицы линейно выражаются через базисные.

Пусть A — квадратная матрица, E — единичная матрица той же размерности.

Целая положительная степень матрицы A определяется следующим образом:

A ⁰ = E, A ¹ = A, A ⁿ = A ^{n −1}· A = A · A^{n −1}.

Пусть P _n(x) = a_nxⁿ + a_{n− 1} x^{n− 1} +... + a ₁ x + a ₀ — произвольный многочлен n -й степени.

Многочленом от матрицы A называется матрица

P_n (A) = a_nAⁿ + a_{n −1} A^{n −1} +... + a ₁ A + a ₀ E.

Все алгебраические операции, определенные для многочленов, определены и для многочленов от матрицы. Кроме того, P_n (С ⁻¹· A · С) = С ⁻¹· P_n (A)· С.

Многочлены от матрицы — перестановочные матрицы: P_n (A)· Q_m (A) = Q_m (A)· P_n (A).

Если P_n (λ) — характеристический многочлен матрицы A, то P_n(A) = Θ. Здесь Θ — нулевая матрица.

Если матрица A невырожденная, то можно определить отрицательную степень матрицы:

A^{− n} = (A⁻¹ ) ⁿ.

Пусть P_n (x) = a_nxⁿ + a_{n− 1} x^{n− 1} +... + a ₁ x + a ₀ и A — квадратная матрица. Собственный вектор матрицы A, отвечающийсобственному значению λ, является собственным вектором матрицы P_n (A), отвечающим собственному значению P_n (λ):

Норма.

Если в пространстве векторов x = (x ₁, x ₂,..., x_n) введена норма ‌ ‌ x ‌ ‌, то согласованной нормой матрицы A называют число ‌ ‌ A ‌ ‌:

Например,

Внешне столь различные, эти нормы эквивалентны: когда некоторая последовательность матриц (векторов) по одной из этих норм стремится к нулю, то она стремится к нулю и по остальным нормам.

Для всех векторов x справедливо ‌ ‌ x ‌ ‌ ≤ ‌ ‌ A ‌ ‌ · ‌ ‌ x ‌ ‌, где ‌ ‌ A ‌ ‌ — согласованная норма матрицы A. Для векторов x и для нулевой и единичной матриц, любых матриц A, B и C справедливо:

‌ ‌ 0‌ ‌ =0;

‌ ‌ E‌ ‌ =1;

‌ ‌ λ A ‌ ‌ ≤ ‌ λ ‌ · ‌ ‌ A ‌ ‌;

‌ ‌ A + B ‌ ‌ ≤ ‌ ‌ A ‌ ‌ + ‌ ‌ B ‌ ‌;

‌ ‌ A · B ‌ ‌ ≤ ‌ ‌ A ‌ ‌ · ‌ ‌ B ‌ ‌.

Поиск по сайту: