Вычисление определителей

Вычисление определителей любого порядка существенно упрощается, если использовать некоторые свойства определителей:

• определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
• определитель треугольной матрицы равен произведению, элементов главной диагонали;
• определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой строки, умноженные на одно и то же число.

Обратная матрица.

Пусть A — квадратная матрица порядка n:

Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A,

удовлетворяющая соотношениям A·X = X·A = I,то матрица A называется обратимой,

а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A^{− 1}.

Здесь I — единичная матрица соответствующей размерности:

A·A^{− 1} = A^{− 1} ·A = I.

Всякая невырожденная матрица A имеет единственную обратную матрицу

A_ij — алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы A.

Для того, чтобы матрица A была обратима, необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0.

Обратная матрица единственна.

Свойства обратной матрицы (справедливы для любых невырожденных матриц):

• (A·B)⁻¹ = B ⁻¹ ·A ⁻¹;

• (A ⁻¹)⁻¹= A;

• I ⁻¹= I;

• det (A^{− 1}) = (det A) ^{− 1};

• A·A^{− 1} ·A = A;

• матрица, обратная к диагональной матрице — диагональная матрица;

• матрица, обратная к треугольной матрице — треугольная матрица;

• матрица, обратная к симметричной матрице — симметричная матрица.

Порядок операций при вычислении обратной матрицы:

Системы линейных уравнений: определение системы и решения системы линейных уравнений; однородные и неоднородные, совместные и несовместные, определённые и неопределённые системы. Методы решения: матричный, метод Крамера, метод Гаусса.

Совокупность уравнений

относительна неизвестных x ₁, x ₂,..., x_{n -1}, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i — правые части системы i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы, x — искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A ⁽¹⁾ x ₁ + A ⁽²⁾ x ₂ +... + A ⁽ⁿ⁾ x_n = b.

Здесь A ⁽¹⁾, A ⁽²⁾,..., A ⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x = 0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

Две системы относительно одних и тех же неизвестных эквивалентны, если множества их решений совпадают.

Системы A·x = b и B·A·x = B·b эквивалентны, если матрица B невырождена.

Перестановка уравнений системы, прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умножение уравнения на число, отличное от нуля — такие преобразования системы называются элементарными преобразованиями системы.

Элементарные преобразования приводят к эквивалентным системам.

Метод Гаусса.

Любая система линейных алгебраических уравнений с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:

Система линейных уравнений, записанная в каноническом виде, совместна, очевидно, тогда и только тогда, когда b ' _{r +1} = 0, b ' _{r +2} = 0,..., b ' _{m −1} = 0, b ' _m = 0.

Общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, очевидно, определяется формулами:

Переменные x_{r +1}, x_{r +2},..., x_{m −1}, x_m могут принимать произвольные значения.

Переменные x_{r +1}, x_{r +2},..., x_{m −1}, x_m называются свободными переменными.

Переменные x ₁, x ₂,..., x_{r −1}, x_r называются базисными переменными.

Расширенная матрица кононической системы имеет вид:

Если система совместна, b ' _{r +1} = 0, b ' _{r +2} = 0,..., b ' _{m −1} = 0, b ' _m = 0, то базисный минор матрицы Ap — равный единице угловой минор порядка r.

Ранг матрицы Ap равен рангу матрицы A и равен r.

Размерность пространства решений приведенной однородной системы равна n − r.

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

Поиск по сайту: