Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.

Пусть дано линейное пространство R_n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R_n в себя, то есть A:R_n → R_n.

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A, если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору .

Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.

1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.

2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m линейно независимы.

3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется линейно независимых собственных векторов , соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .

Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.

Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов.

Пусть дан вектор , где x₁, x₂, …, x_n - координаты вектора относительно базиса и - собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу , то есть . Это соотношение можно записать в матричной форме

. (*)

Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания , причем , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A - λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A - λE) = 0.

Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:

(1)

где - матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

.

Получили уравнение для нахождения собственных чисел.

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.

Пусть λ₁, λ₂, …, λ_n - вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.

Пример 12. Линейный оператор A действует в R₃ по закону , где x₁, x₂,.., x_n - координаты вектора в базисе , , . Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.

Решение. Строим матрицу этого оператора:

.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

.

λ_1,2 = -1, λ₃ = 3.

Подставляя λ = -1 в систему, имеем:

или

Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.

Пусть x₁ - свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: , где x₁ - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x₁ = 1: .

Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: .

В пространстве R₃ базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R₃ составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример 13. Дана матрица .

1. Доказать, что вектор является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.

2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение.

1. Если , то - собственный вектор

.

Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор. Собственное число λ = -1.

Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.

Собственные векторы ищем из системы:

Характеристическое уравнение: ;

(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ² - 1) = 0

λ₁ = -3, λ₂ = 1, λ₃ = -1.

Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:

Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x₁ = x₃ = 0. x₂ здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x₂ = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:

.

Если λ = 1, то получаем систему

Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.

Пусть x₃ - свободное неизвестное. Тогда x₁ = -3x₃, 4x₂ = 10x₁ - 6x₃ = -30x₃ - 6x₃, x₂ = -9x₃.

Полагая x₃ = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

.

Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R₃. Таким образом, в базисе , , матрица A имеет вид:

.

Не всякую матрицу линейного оператора A:R_n → R_n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой .

Замечания. 1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.

2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

5. Векторная алгебра: основные понятия и виды векторов, линейные операции над векторами и их свойства, координатное выражение. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов: определение, свойства, координатное выражение, приложения. Норма и длина вектора. Проекция вектора на ось, на другой вектор.

Определение вектора.

Начало формы

Конец формы

Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.

Определение 10.1 Вектором называется направленный отрезок.

Таким образом, вектор -- это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: . В двух последних случаях -- обозначение точки, являющейся началом вектора, -- концом вектора. В тексте этого учебника будут использоватся первое и последнее из перечисленных обозначений.

Рис.10.1.Изображение векторов

Определение 10.2 Два вектора называются равными, то есть не различаются как векторы, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.

Если считать, что на рисунке 10.1 векторы лежат в одной плоскости, то , то есть a и c -- разные обозначения одного и того же вектора. Векторы a и при равных длинах не равны друг другу, так как имеют разные направления. В соответствии с введенным равенством векторов слова "вектор параллелен прямой (плоскости)" и "вектор лежит на прямой (плоскости)" означают одно и то же, так как направленный отрезок можно передвинуть параллельно самому себе, вектор при этом не изменится.

Определение 10.3 Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.

Определение 10.4 Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Определение 10.5 Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

Модуль вектора a обозначается . Вектор a называется единичным, если .

К множеству векторов необходимо добавить еще один объект, который мы будем называть нулевым вектором. Его можно рассматривать как отрезок, у которого начало и конец совпадают. Длина такого вектора равна нулю, направления он не имеет. Все нулевые векторы равны друг другу. Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.

В соответствии с принятыми выше обозначениями следовало бы нулевой вектор обозначать 0, но принято обозначать 0. По контексту всегда ясно, чем является 0, числом или вектором.

Операции над векторами.

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение 10.6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 10.2).

Рис.10.2.Сложение векторов

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Рис.10.3.Правило треугольника

Определение 10.7 Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .

Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть .

Определение 10.8 Разностью векторов a и b называется сумма .

Разность обозначается , то есть .

Определение 10.9 Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

1)
и, если , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Произведение вектора a на число обозначается (рис 1.4).

Рис.10.4.Умножение вектора на число

Замечание 10.1 Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами. Таким образом, определение 10.9 задает умножение вектора на скаляр.

Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.

Теорема 10.1 Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства:
1) (свойство коммутативности операции сложения);
2) (свойство ассоциативности операции сложения);
3) ;
4) ;
5) (свойство ассоциативности по отношению к числам);
6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;
8) .

Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 10.5.

Рис.10.5.Ассоциативность сложения

Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы и коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа и одного знака, и направление, противоположное вектору a, если и разного знака. Следовательно, .

Свойство 6 очевидно, если . Если и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 10.6.

Рис.10.6.Свойство дистрибутивности

Случаи, когда или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы и коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что (в противном случае поменяем местами и в доказываемом равенстве).

Пусть и одного знака. Тогда , .

Пусть и имеют разные знаки. Тогда , . Получили, что в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при и противоположно при . Следовательно, . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения 10.9произведения вектора на число.

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.

Рис.10.7.Сумма нескольких слагаемых

Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство верно тогда и только тогда, когда или , или ;
10) вектор, противоположный вектору a, равен , то есть ;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что .

Разложение вектора по базису.

Определение 10.10 Множество векторов на прямой назовемодномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости --двумерным векторным пространством, в пространстве -- трехмерным векторным пространством.

Легко проверить, что если -- какое-то векторное пространство, , -- число, то и .

Определение 10.11 Линейной комбинацией векторов скоэффициентами называется вектор .

Рис.10.10.Примеры линейных комбинаций

Векторы d, f, g на рисунке 10.10 и являются линейными комбинациями векторов a, b, c: , , , .

Будем говорить, что вектор b раскладывается по векторам , если b является линейной комбинацией этих векторов.

Предложение 10.1 Если , то любой вектор b, коллинеарный a, представим и причем единственным образом в виде , где -- число.

Доказательство. В соответствии с определением 10.9 умножения вектора на число , если b имеет направление, противоположное a, и в противном случае. Таким образом, или .

Замечание 10.2 Предложение 10.1 можно сформулировать следующим образом. Пусть -- одномерное векторное пространство, -- система векторов пространства , состоящая из одного ненулевого вектора. Тогда любой вектор из раскладывается по этой системе векторов единственным образом.

Предложение 10.2 Пусть a и b два неколлинеарных вектора. Тогда любой вектор c, компланарный с векторами a и b, раскладывается по ним, причем единственным образом.

Доказательство. Заметим, что и . Если вектор c коллинеарен вектору a или b, то в соответствии с предложением 10.1 c будет представим в виде линейной комбинации векторов a и b, где, соответственно, коэффициент при b или a равен нулю.

Если вектор c не коллинеарен ни одному из векторов a и b, то проведем следующие построения. Передвинем векторы a, b и c параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке . По векторам a и b проведем прямые и соответственно. Через конец вектора c проведем прямые параллельно векторам a и b до пересечения с прямыми и (рис. 10.11).

Рис.10.11.

Очевидно, что . Вектор коллинеарен вектору a и в силу предложения 10.1 , где -- число. По тем же причинам . Следовательно, , то есть вектор раскладывается по векторам a и b.

Замечание 10.3 Предложение 10.2 можно сформулировать следующим образом. Пусть -- двумерное векторное пространство, -- система неколлинеарных векторов из . Тогда любой вектор из раскладывается по этой системе единственным образом.

Предложение 10.3 Пусть a, b и c -- некомпланарные векторы. Тогда любой вектор d раскладывается по этим векторам.

Доказательство. Среди векторов a, b, c нет пары коллинеарных, так как в противном случае векторы a, b, c были бы компланарны.

Если вектор d является компланарным с парой векторов a, c, парой b, c или парой a, c, то в силу предложения 10.2 вектор d раскладывается по векторам a, b, c, где в соответствующей линейной комбинации один из коэффициентов окажется нулевым.

В общем случае выполним следующие построения. Передвинем векторы a, b, c, d параллельно самим себе так, чтобы их начала оказались в одной точке . Через пару векторов a, b проведем плоскость , через пару b, c -- плоскость ,через пару a, c -- . Через конец вектора d проведем плоскости параллельно плоскостям соответственно. Эти шесть плоскостей ограничивают параллелепипед, диагональю которого служит вектор d (рис. 10.12).

Рис.10.12.

Очевидно, что , . Следовательно, . В силу предложения 10.1 , , . Поэтому , то есть d раскладывается по векторам a, b, c.

В соответствии с предложением 10.3 и замечаниями 10.2, 10.3 к предложениям 10.1 и 10.2 можно сделать вывод, что в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

Определение 10.12 Базисом векторного пространства будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если пространство трехмерное.

Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векторов в каждом из них равно размерности пространства.

Слова "упорядоченная система векторов" означают, что указан порядок перечисления векторов.

Определение 10.13 Координатами (или компонентами) вектора a в базисе называются коэффициенты разложения вектора a по векторам базиса.

Для указания, что вектор a имеет координаты , мы будем использовать запись .

Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора в общем случае изменятся.

Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами. Доказательство соответствующих предложений для простоты записи проведем для случая двумерного пространства. Читатель без труда повторит их для пространства любой размерности.

Предложение 10.4 При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть , то есть . Тогда . Так как последняя запись дает разложение вектора по векторам базиса , то произведения , являются координатами вектора , .

Предложение 10.5 При сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Доказательство. Пусть , . Тогда , ,

то есть .

Упражнение10.3.1. Докажите, что все координаты нулевого вектора в любом базисе равны нулю.

Упражнение10.3.2. Докажите, что базисный вектор с номером имеет координату с номером , равную 1, а все остальные координаты -- нулевые.

Упражнение10.3.3. Докажите, что координаты разности векторов равны разностям координат.

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора.

Задача. Даны векторы , . Вектор -- медиана треугольника . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Решение. Сначала рассмотрим геометрическое решение (рис. 10.13).

Рис.10.13.Геометрическое разложение вектора

Проведем через конец вектора a прямую параллельно вектору b до пересечения с продолжением вектора c. Получим точку пересечения . Легко видеть, что , . Проведем через точку прямую параллельно вектору c до пересечения с продолжением вектора b. Получим точку . Очевидно, что , то есть . Таким образом, . Получим .

Аналитическое решение. Получим какое-нибудь уравнение, связывающее векторы a, b, c. Для этого достроим треугольник до параллелограмма (рис. 10.14).

Рис.10.14.

Тогда , . Получим равенство . Откуда , то есть .
Ответ: .

Линейная зависимость векторов.

Введем еще одно очень важное понятие, которое используется не только в алгебре, но и во многих других разделах математики.

Определение 10.14 Система векторов называетсялинейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один отличен от нуля, что .

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называетсялинейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому.

Определение 10.15 Система векторов называетсялинейно независимой, если равенство возможно только при .

Кто плохо понял два последних определения, может получить дополнительные объяснения здесь.

Предложение 10.6 Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда

то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).

Предложение 10.7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство.

Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

Упражнение10.4.1. Докажите, что если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Предложение 10.8 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Доказательство. Пусть система состоит из вектора . Линейная комбинация имеет вид . Если , то , то есть система линейно зависима. Если и , то .

Предложение 10.9 Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Доказательство этого предложения предоставляется читателю. Оно аналогично доказательству следующего предложения.

Предложение 10.10 Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство. Пусть векторы -- компланарные. Если -- коллинеарные, то в силу предыдущего предложения они образуют линейно зависимую подсистему системы . По предложению 10.7система -- линейно зависима. Если векторы -- неколлинеарные, то по предложению 10.2 является линейной комбинацией векторов и по предложению 10.6 система векторов -- линейно зависимая.

Пусть система векторов линейно зависима. По предложению 10.6 один вектор, скажем , является линейной комбинацией других векторов, и , . Правая часть последнего равенства лежит в плоскости, в которой лежат векторы . Поэтому вектор лежит в одной плоскости с векторами , то есть векторы -- компланарные.

Предложение 10.11 Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.

Доказательство. Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему (предложение 10.10). Следовательно, вся система линейно зависима (предложение 10.7). Если первые три вектора -- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией (предложение 10.3). По предложению 10.6 система является линейно зависимой.

На основании сказанного дадим другое определение базиса, которое является более распространенным, чем определение 10.12.

Определение 10.16 Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства раскладывается по векторам этой системы.

Из предложений 10.8 – 10.11 следует, что это определение эквивалентно определению 10.12.

Система координаты и координаты вектора.

Рассмотрим случай трехмерного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем некоторую точку и возьмем произвольную точку . Радиус-вектором точки по отношению к точке называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор раскладывается по этому базису. Таким образом точке можно сопоставить упорядоченную тройку чисел -- координаты ее радиус-вектора.

Определение 10.17 Декартовой системой координат в пространственазывается совокупность точки и базиса.

Точка носит название начала координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая -- осью абсцисс, вторая -- осью ординат, третья -- осьюаппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называюткоординатными плоскостями.

Определение 10.18 Координаты радиус-вектора точки по отношению к началу координат называются координатами точки в рассматриваемой системе координат.

Первая координата называется абсциссой, вторая -- ординатой, третья --аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты -- абсциссу и ординату.

Координаты точки обычно пишут в скобках после буквы, обозначающей точку, например , .

Определение 10.19 Декартова система координат называетсяпрямоугольной, если векторы базиса -- единичные и попарно ортогональные (перпендикулярные) друг другу.

В дальнейшем мы будем использовать лишь декартову прямоугольную систему координат и для краткости будем называть ее просто "система координат".

Единичные попарно ортогональные векторы базиса принято, как правило, обозначать i, j, k.

Определение 10.20 Базис, образованный единичными попарно ортогональными векторами, называют ортонормированным.

На рис. 10.15 показаны два способа изображения точки по ее координатам.

Рис.10.15.Построение точки

Так как точку пространства мы вынуждены изображать на плоскости, то, пока не указаны линии, связывающие изображение точки с осями координат, установить ее положение в пространстве невозможно! Это показывает рис. 10.16.

Рис.10.16.

Зная координаты начала и координаты конца вектора, можно определить координаты самого вектора.

Предложение 10.12 Если точки заданы своими координатами , , то .

Доказательство. Очевидно соотношение (рис. 10.17),

Рис.10.17.Координаты вектора

откуда . Так как, по определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, то , . В силу предложений 10.4, 10.5 получим .

Предложение 10.12 можно сформулировать так: чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Проекции вектора.

Здесь и в дальнейшем под словами "проекция точки" или "проекция вектора" всегда будем понимать ортогональную проекцию.

Пусть в пространстве задана некоторая ось , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 10.21 Проекцией точки на ось называется число, соответствующее основанию перпендикуляра , опущенного на ось из точки .

Определение 10.22 Проекцией вектора на ось называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекцию будем обозначать . На рис. 10.18 .

Рис.10.18.Проекция вектора на ось

Легко проверить, что если , то , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

Предложение 10.13 Пусть -- угол, образованный вектором a с осью . Тогда .

Доказательство. Пусть угол -- острый. Тогда в соответствии с рис. 10.19 получим .

Рис.10.19.

Если угол тупой, то в соответствии с рис.10.20 находим ,

Рис.10.20.

откуда .

Предложение 10.14 Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций.

Если проекции слагаемых одного знака, то доказательство очевидно из рис. 10.21.

Рис.10.21.Проекция суммы

Случай проекций разных знаков читатель может проанализировать самостоятельно или прочесть в одном из учебников из списка литературы.

Предложение 10.15 Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число.

Доказательство очевидно из подобия треугольников на рис. 10.22.

Рис.10.22.Проекция произведения вектора на число

Определение 10.23 Проекцией вектора b на вектор a, , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.

Проекция вектора b на вектор a обозначается .

Очевидно, что , где -- угол между векторами a и b.

Предложение 10.16 Проекции вектора на координатные оси равны коодинатам вектора.

Определение 10.24 Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.

Рис.10.23.Направляющие косинусы вектора

Поиск по сайту: