Умножение вектора на число

Произведением вектора на называется со следующими свойствами:

1)

2) , если

, если

Отсюда следует, что либо , либо .

Критерии коллинеарности двух векторов

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из этих векторов можно выразить через другой (т.е. ). Это условие равносильно следующему при не равных нулю одновременно.

Доказательство:

Пусть . Рассмотрим случай, когда один из этих векторов не нулевой.

А) Пусть

,

Б) Пусть:

Доказательство аналогично.

очевидно

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ

V.

VI.

VII.

VIII. (распределительный закон) дистрибутивность.

V очевиден

VI и VIII также очевидны, если хотя бы из чисел

Доказательство: Для случая или не нулевые векторы

VI Обозн.

а)

б)

VII а) одного т того же знака

б) найдется 2 с одинаковым знаком.

Пусть это будут числа - одинаковый знак. . Для чисел с одинаковым знаком равенство доказано, можно записать:

VII

VIII а)

б)

Докажем, что

Рассмотрим подобен (2 признак подобия)

Следствие:

Определение: линейно выражается через

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат , и . Оси координат пересекаются в точке , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно^[2]) одинаковы для всех осей. — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат.

Рис. 2

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами , и . Координата равна длине отрезка , координата — длине отрезка , координата — длине отрезка в выбранных единицах измерения. Отрезки , и определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям , и соответственно.

Координата называется абсциссой точки ,

координата — ординатой точки ,

координата — аппликатой точки .

Символически это записывают так:

или

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка лежала не как на рисунке — на луче , а на его продолжении в обратную сторону от точки (на отрицательной части оси ), то абсцисса точки была бы отрицательной (минус расстоянию ). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами^[3] совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси ).

Поиск по сайту: