|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Проекции вектораНаправленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертовй наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться таже его точкой приложения. Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором Проекцией вектора Проекция вектора Проекция вектора
Проекции произвольного вектора Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки Формула
позволяет по координатам вектора определить его модуль. Если Вследствие формулы (1)
Отсюда, и из формулы (2) следует, что
Последнее равенство позволяет определить один из углов Координаты вектора Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) Определение Координатами вектора Величина Пример Запись
Сумма двух векторов, заданных координатами Пусть заданы Определение Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты. Пример Задание. Заданы Решение.
Умножение вектора на число Если задан Определение Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число. Пример Задание. Вектор Решение. Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки Определение Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. Пример Задание. Найти координаты вектора Решение. Направляющие косинусы Определение Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат. Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам. Если в пространстве задан вектор Здесь
Основное свойство направляющих косинусов Определение Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице. Если известны направляющие косинусы вектора Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора Действия над векторами, заданными координатами. Пусть в системе Оxyz заданы векторы: Для них справедливы формулы (см. п. 1.2.4.):
Пример. По координатам точек А(
Решение: По определению вычитания векторов
Итак, чтобы найти координаты вектора Решение типовых задач по векторной алгебре Задача 1 Найти орт вектора Решение:
Ответ: Задача 2 Определить модули суммы и разности векторов Решение: 1) Находим координаты
2) Ответ: Задача 3 Определить, при каких значениях α и β, векторы Решение: Если существует такое число
Ответ: при Задача 4. Даны векторы Решение: Разложить вектор
У равных векторов равны соответствующие координаты, следовательно, получаем систему уравнений:
Решив эту систему, получим x = 1, y = 2, z = 3 и Ответ: 4. Скалярным произведением двух векторов Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению Скалярным произведением двух векторов Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом. Формулу для вычисления скалярного произведения Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов. Скалярным произведением двух векторов Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов То есть, для векторов Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому. Сначала докажем равенства Отложим от начала координат (точка О) векторы Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости Для любых векторов 1. свойство коммутативности скалярного произведения 2. свойство дистрибутивности 3. сочетательное свойство 4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел. Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения. Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.021 сек.) |