Проекции вектора

Направленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертовй наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться таже его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом или а. Если , то вектор называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается обычно символом .

Проекцией вектора на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а - проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора на ось u обозначается символом . Если вектор обозначен символом , то его проекцию на ось u принято обозначать: .

Проекция вектора на ось u выражается через его модуль и угол наклона к оси u формулой

.

Проекции произвольного вектора на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается .

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки (, , ) и (, , ), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .

Формула

(2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если , , - углы, которые составляет вектор с координатными осями (см. рис. 2), то , , называются направляющими косинусами вектора .

Вследствие формулы (1)

, , .

Отсюда, и из формулы (2) следует, что

.

Последнее равенство позволяет определить один из углов , , , если известны два других.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) и произвольный вектор , начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).

Определение

Координатами вектора называются проекции и данного вектора на оси и соответственно:

Величина называется абсциссой вектора , а число - его ординатой. То, что вектор имеет координаты и , записывается следующим образом: .

Пример

Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы и , тогда вектор имеет координаты (рис. 2).

Определение

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Пример

Задание. Заданы и . Найти координаты вектора

Решение.

Умножение вектора на число

Если задан , то тогда вектор имеет координаты , здесь - некоторое число (рис. 3).

Определение

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Пример

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки и . Тогда координаты вектора находятся по формулам (рис. 4):

Определение

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Пример

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Направляющие косинусы

Определение

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат.

Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.

Если в пространстве задан вектор , то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:

Здесь , и - углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей , и соответственно.

Основное свойство направляющих косинусов

Определение

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

Если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:

Действия над векторами, заданными координатами.

Пусть в системе Оxyz заданы векторы: и .

Для них справедливы формулы (см. п. 1.2.4.):

,

.

Пример.

По координатам точек А() и В() найти координаты вектора .

Рис. 2.14.

Решение:

По определению вычитания векторов . Согласно определению координат точки , . Применяя правило вычитания векторов, заданных своими координатами, получим:

.

Итак, чтобы найти координаты вектора , достаточно вычесть соответственно из координат его конца координаты начала.

Решение типовых задач по векторной алгебре

Задача 1

Найти орт вектора .

Решение:

, , следовательно

.

Ответ: .

Задача 2

Определить модули суммы и разности векторов , :

Решение:

1) Находим координаты и :

,

2) , .

Ответ: , .

Задача 3

Определить, при каких значениях α и β, векторы и коллинеарны?

Решение:

Если существует такое число , что , то векторы коллинеарны:

, и .

Ответ: при и векторы коллинеарны.

Задача 4.

Даны векторы в некотором базисе. Векторы , , не компланарны. Найти координаты вектора в базисе , , .

Решение:

Разложить вектор по базису , , - это значит представить его в виде: , где x, y, z R. Вычислим x, y, и z.

,

.

У равных векторов равны соответствующие координаты, следовательно, получаем систему уравнений:

.

Решив эту систему, получим x = 1, y = 2, z = 3 и . Числа 1, 2, 3 называются координатами в базисе , , .

Ответ: .

4. Скалярным произведением двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и будем обозначать как . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде , где - числовая проекция вектора на направление вектора , а - числовая проекция вектора на направление вектора .

Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
а для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.

Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.

Сначала докажем равенства для векторов на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы и . Тогда (при необходимости обращайтесь к статьям операции над векторами и их свойства и операции над векторами в координатах).

Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов мы можем записать . Так как , то последнее равенство можно переписать как , а по первому определению скалярного произведения имеем , откуда . Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем

Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств для векторов , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости , в пространстве .

Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. свойство коммутативности скалярного произведения ;

2. свойство дистрибутивности или ;

3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;

4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, и , откуда следует

Поиск по сайту: