Сложение и вычитание векторов
Дано:
Суммой двух векторов будем называть вектор, который получается следующим образом: к произведению т. пространства А приложим , т.е. изобразим его направленный отрезок , к точке В приложим вектор , т.е. изобразим его , тогда направленный отрезок изобр. сумму .
Для любых трех точек А, В и С выполнено равенство:
назовем это равенство «аксиомой» треугольника.
Законы сложения
I. Сумма векторов для любых векторов и - это переместительный закон или коммутативный.
II. (сочетательный или ассоциативный).
III. Существует , такой, что (закон существования нуля).
IV. Для любого вектора существует вектор , такой, что (закон существования).
Доказательство:
I. Вектор приложим к некоторой точке А пространства. , а вектор приложим как к т. А, так и к т. В.
Применим свойство :
II. Доказательство: Вектор принадлежит к некоторой точке А, к В, к С.
Применим свойство :
II. Доказательство:
Вектор принадлежит к некоторой точке А, к В, к С.
III. Доказательство:
Изобразим направленным отрезком и рассмотрим тройку точек А, В, В.
IV.
Следствие о вычитании Уравнение всегда имеет единственное решение; оно называется разностью векторов и
Доказательства к обеим частям прибавим вектор, противоположный вектору .
Воспользуемся I и II
IV
III
Докажем единственность.
Допустим, что существуют и , такие, что
(приб. )
Отсюда следует:
Приложим к т. О. - правило треугольника для разности. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | Поиск по сайту:
|