Сложение и вычитание векторов

Дано:

Суммой двух векторов будем называть вектор, который получается следующим образом: к произведению т. пространства А приложим , т.е. изобразим его направленный отрезок , к точке В приложим вектор , т.е. изобразим его , тогда направленный отрезок изобр. сумму .

Для любых трех точек А, В и С выполнено равенство:

назовем это равенство «аксиомой» треугольника.

Законы сложения

I. Сумма векторов для любых векторов и - это переместительный закон или коммутативный.

II. (сочетательный или ассоциативный).

III. Существует , такой, что (закон существования нуля).

IV. Для любого вектора существует вектор , такой, что (закон существования).

Доказательство:

I. Вектор приложим к некоторой точке А пространства. , а вектор приложим как к т. А, так и к т. В.

Применим свойство :

II. Доказательство: Вектор принадлежит к некоторой точке А, к В, к С.

Применим свойство :

II. Доказательство:

Вектор принадлежит к некоторой точке А, к В, к С.

III. Доказательство:

Изобразим направленным отрезком и рассмотрим тройку точек А, В, В.

IV.

Следствие о вычитании Уравнение всегда имеет единственное решение; оно называется разностью векторов и

Доказательства к обеим частям прибавим вектор, противоположный вектору .

Воспользуемся I и II

IV

III

Докажем единственность.

Допустим, что существуют и , такие, что

(приб. )

Отсюда следует:

Приложим к т. О. - правило треугольника для разности.

Поиск по сайту: