АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы

Читайте также:
  1. I. Определение ранга матрицы
  2. II. Умножение матрицы на число
  3. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  4. SWOT- анализ и составление матрицы.
  5. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  6. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  7. Алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы
  8. Алгоритм нахождения обратной матрицы
  9. Алгоритм определения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы с положительными элементами.
  10. Б) с помощью обратной матрицы.
  11. Базисный минор и ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
  12. Билет 21 Квадратичные формы, преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре векторов , из этого пространства поставлено в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением, и при этом для любых из и любого действительного числа справедливы следующие равенства:

· 1. ;

· 2. ;

· 3. ;

· 4. при , , -- нулевой вектор.

Число называется длиной вектора ; число -- расстоянием между векторами ; угол , косинус которого , -- углом между векторами , , , .

Векторы , из евклидова пространства называются ортогональными, если .

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать в - мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство - пространство столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой .

Тогда для любых , из справедливы формулы:

Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство .

Величины , и характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.
Если и - два ортонормированных базиса в - мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому - ортогональная матрица.

 

Пример 2.

Исследование на линейную зависимость систем векторов. Выделение линейно независимой подсистемы векторов.

Исследуем на линейную зависимость системы векторов
, , , и , , ,

Выделим в линейно зависимой системе линейно независимую подсистему. Найдем линейные выражения всех векторов линейно зависимой системы через векторы линейно независимой подсистемы.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)