Операции над матрицами

1. Сложение (вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно:

C=А +В,если с_ij = a_ij + b_ij; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.

Пример: Найти сумму матриц А и В

А= , В= .

Решение:

С=А+В= .

2. Умножение матрицы на число – каждый элемент матрицы умножается на это число:

B = A, если b_ij= a_ij; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.

Пример: Найти 3А, если А= .

Решение:

3А=3 = .

3. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц А и В называется такая матрица С, каждый элемент с_ij которой равен сумме произведений элементов i – й строки матрицы А на соответствующие элементы матрицы В:

c_ij = ; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.

Пример: Найти произведение матриц А и В

А= , В= .

Решение: Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В,то произведение матриц существует и матрицу С=АВ найдём, пользуясь

правилом умножения матриц

С=АВ= = = .

4. Транспонирование матриц – переход от матрицы А к матрице А , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка

а^т_ij = aji; i=1,2,3,…,m; j=1,2,3,…,n.

Пример: Найти А , транспонированную к матрице А, если

А = .

Решение. По определению поменяем строки и столбцы местами, получим

А = .

5 .Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень m (m>1):

A =

Пример: Найти А , если

А = .

Решение. Умножим матрицу А на матрицу А два раза, получим по правилу умножения матриц А .

А = = = .

2 .Определители квадратных матриц.

Определитель – число, характеризующее матрицу.

Определителем квадратной матрицы первого порядка А=(а_ij), называется элемент а₁₁:

= |А| = a_ij

Пример: Пусть А = (3),тогда = |А| =3

Определителем квадратной матрицы второго порядка А=(аij), называется

Число, которое вычисляется по формуле:

Определителем квадратной матрицы третьего порядка А=(а_ij), называется число, которое вычисляется по формуле:

Определители третьего порядка вычисляются по правилу «треугольников», где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема), либо со знаком «-» (правая схема):

(+)

Поиск по сайту: