 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Метод Гаусса. Метод Гаусса используется, когда система имеет большое число уравнений и заключается в последовательном исключении неизвестных
Метод Гаусса используется, когда система имеет большое число уравнений и заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:
Допустим, что 
0.
Первый шаг: делим уравнение (1) на 
, умножим полученное уравнение на 
и вычитаем из2-го, затем умножим на 
и вычтем из 3-го, наконец умножим на 
и вычтем из 4-го. В результате первого шага приходим к системе
где 
= 
; 
= 
; 
= 
; 
= 
;
= 
- ; 
= 
- ; 
= 
- ; 
= 
- ;
= 
- ; 
= 
- ; 
= 
- ; 
= 
- ;
= 
- ; 
= 
- ; 
= 
- ; 
= 
- .
Отсюда видим, что введенные нами коэффициенты получаются из коэффициентов системы по следующим формулам:
= 
;
= 
- 
= - ;
= 
- = - ; i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4.
Второй шаг: поступаем с уравнениями 6, 7, 8 точно так же, как с уравнениями 1, 2, 3, 4 и т.д. В итоге исходная система преобразуется к «ступенчатому» виду:
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.
На практике удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.
Пример: Решить систему уравнений
Решение: Преобразуем матрицу
А 
= 
.
Первую строку умножим соответственно на -1, 2, 3, вычтем из второй, третьей и четвёртой строк:
А ~ 
.
Вторую строку прибавим к третьей и четвёртой строкам:
А ~ 
.
Третью строку, умноженную на 
, вычтем из четвёртой:
А ~ 
, А = 
.
Получим rang A = rang А , следовательно система совместна и имеет единственное решение. Исходную систему можно теперь записать через эквивалентную в виде:
Порядок действий при решении этой системы очевиден. Последнее уравнение даёт 
= -5, подставив это значение в третье уравнение, получим 
= 0, второе уравнение даёт 
= 4, наконец, из первого уравнения найдём
= 2. Итак, решением данной системы является = 2, = 4, = 0, = -5.
Пример: Решить систему уравнений
Решение: Запишем матрицу
А = 
.
Здесь 6-ой, так называемый контрольный столбец, каждым элементом которого является сумма пяти элементов данной строки. Контрольный столбец служит для проверки правильности элементарных преобразований.
Преобразуем матрицу в эквивалентную
А ~ 
.
(Преобразование матрицы проведите самостоятельно).
Запишем эквивалентную систему уравнений
Из 4-го уравнения = 4, из 3-го уравнения находим = 3, из 2-го = 2, из 1-го = 1, т.е. решением данной системы является = 1, = 2, = 3, = 4.
Поиск по сайту: