Правило Крамера. Пусть задана система n-линейных уравнений с m неизвестными вида

Пусть задана система n -линейных уравнений с m неизвестными вида

(1)

Запишем систему (1) в матричной форме, АX = B,где

A= , X = , B = .

Правило Крамера. Если в системе (1) det A = 0, т.е. матрица А имеет обратную А , то система (1) имеет, и притом единственное, решение

X = А B,

или, в покомпонентной записи,

= , i = 1, 2, …, n.

где - определитель, получаемый из определителя заменой i -го столбца на столбец свободных членов.

Для решения систем линейных уравнений по правилу Крамера используют два метода:

1 .Матричный метод решения систем – заключается в решение матричного уравнения X = А B* Для этого необходимо:

1.1. Найти обратную матрицу.

1.2.Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец из свободных членов.

1.3.Ответ записать в виде X = А B.

2. По формулам Крамера - = , i = 1, 2, …, n.

Пример: Решить систему уравнений

а) матричным методом; б) по формулам Крамера.

Решение: Запишем систему уравнений в следующем виде

А = , X = , B = .

а) Матричный метод.

1. Найдём обратную матрицу.

1.1.Вычислим матрицы А:

= = 5, 0, т.е. матрица А – невырожденная и обратная матрица А существует.

1.2. Находим матрицу А , транспонированную к А:

А = .

1.3. Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А .

А = (-1) = 2 – 1 = 1; А = (-1) = - (4 – 1) = -3;

А = (-1) = -(-2-1) = 3; А = (-1) = 2 – 1 = 1;

А = (-1) = -1-1 = -2; А = (-1) = - (1 – 2) = 1;

А = (-1) = 2 – 1 = 1;

А = (-1) = - (1 + 1) = -2;

А = (-1) =1 + 2 = 3.

Строим присоединённую матрицу А .

А = .

1.4.Вычислим обратную матрицу А = :

А = = .

2.Найдём произведение обратной матрицы на матрицу-столбец из свободных членов.

X = = = = .

3.Ответ запишем в виде X = .

б) По формулам Крамера.

Определитель системы

= = 5 0, поэтому система имеет единственное решение, которое находим по формулам = , для этого сначала находим определители ,

, :

= = 20; = = 10; = = 5.

Тогда

x = = = 4; x = = = 2; x = = = 1.

Ответ: (4, 2, 1).

Поиск по сайту: