Метод Гаусса. Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы, т.е. приведении основной матрицы системы к треугольному виду, когда под ее главной диагональю стоят нули. Это достигается с помощью элементарных преобразований матрицы над строчками. В результате таких преобразований не нарушается равносильность системы, и она приобретает также треугольный вид, т. е. последнее уравнение содержит одну неизвестную, предпоследнее – две и т. д. Выражают из последнего уравнения n-ую неизвестную и с помощью обратного хода, используя ряд последовательных подстановок, получают значения всех неизвестных.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

3х₁ + 2х₂ + х₃ = 17

2х₁ - х₂ + 2х₃ = 8.

х₁ + 4х₂ - 3х₃ = 9

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем содержащуюся в ней матрицу А к треугольному виду.

В = .

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных выражений при последующих вычислениях

В ~ .

Первую строку полученной матрицы умножим последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом В будет иметь вид:

В ~.

После умножения второй строки на и сложения ее с третьей строкой матрица А примет треугольный вид. Однако, чтобы упростить вычисления, можно поступить следующим образом: умножим третью строку на (-1) и сложим со второй. Тогда получим:

В ~ .

Далее, умножая вторую строку матрицы на 10 и складывая с третьей, окончательно получим:

В ~ .

Восстановим из полученной матрицы В систему уравнений, равносильную данной

х₁ + 4х₂ - 3х₃ = 9

х₂ - 2х₃ = 0

- 10х₃ = -10

Из последнего уравнения находим Найденное значение х₃ = 1 подставим во второе уравнение системы, из которого х₂ = 2х₃ = 2 × 1 = 2.

После подстановки х₃ = 1 и х₂ = 2 в первое уравнение для х₁ получим х₁ = 9 - 4х₂ + 3х₃ = 9 - 4 × 2 + 3 × 1 = 4.

Итак, х₁ = 4, х₂ = 2, х₃ = 1.

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Проверка:

3 × 4 + 2 × 2 + 1 = 17 верно

2 × 4 - 2 + 2 × 1 = 8 верно

4 + 4 × 2 - 3 × 1 = 9 верно

Итак, система решена верно.

Решить системы уравнений методом Гаусса:

75. . 76. .

77. . 78. .

79. . 80. .

81. . 82. .

83. . 84. .

Поиск по сайту: