 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Система линейных уравнений имеет либо одно, либо бесконечно много решений. В первом случае она называется определенной, а во втором – неопределенной
Определение 2. Система линейных уравнений, которая не имеет решений, называется несовместной. Если система уравнений содержит уравнение 
, называемое противоречивым, то она несовместна.
Определение 3. Две система линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения. Если в системе линейных уравнений вычеркнуть одно или несколько уравнений вида
, называемых тривиальными. Тогда получим систему уравнений, равносильную исходной.
Теорема Крамера. Система 
уравнений с неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.
Формулы Крамера:
,
где 
- определитель матрицы системы;
-определитель, получаемый из заменой k-го столбца столбцом свободных членов.
Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:
1. 
и каждый определитель 
. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных 
пропорциональны, то есть каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число 
. Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.
2. и хотя бы один из определителей 
. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме , пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.
Например, для системы из трёх уравнений:
Ответ: 
.
При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе со ступенчатой матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной ступенчатой системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
1) умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число;
2) сложение и вычитание уравнений;
3) перестановку уравнений в системе;
4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.
Пример 1. Решить систему 
.
; 
;
; 
.
По формулам Крамера находим: 
.
Ответ: 
.
Поиск по сайту: