АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Система линейных уравнений имеет либо одно, либо бесконечно много решений. В первом случае она называется определенной, а во втором – неопределенной

Читайте также:
  1. A) прогрессивная система налогообложения.
  2. A) товарооборот во втором полугодии меньше чем в первом на 20 тыс
  3. C) Систематическими
  4. Data Mining и Business Intelligence. Многомерные представления Data Mining. Data Mining: общая классификация. Функциональные возможности Data Mining.
  5. ERP и CRM система OpenERP
  6. HEMI-SYNC И МНОГОЕ ДРУГОЕ
  7. I Понятие об информационных системах
  8. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  9. I. Правила поведения в условиях вынужденного автономного существования.
  10. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  11. I. Спортивная тренировка как многолетний процесс.
  12. I. Суспільство як соціальна система.

Определение 2. Система линейных уравнений, которая не имеет решений, называется несовместной. Если система уравнений содержит уравнение , называемое противоречивым, то она несовместна.

Определение 3. Две система линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения. Если в системе линейных уравнений вычеркнуть одно или несколько уравнений вида

, называемых тривиальными. Тогда получим систему уравнений, равносильную исходной.

Теорема Крамера. Система уравнений с неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Формулы Крамера:

,

где - определитель матрицы системы;

-определитель, получаемый из заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

1. и каждый определитель . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то есть каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число . Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. и хотя бы один из определителей . Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных, кроме , пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Например, для системы из трёх уравнений:

 


 

Ответ: .

При решении систем линейных уравнений используют также метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе со ступенчатой матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называют прямым ходом. Из полученной ступенчатой системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1) умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число;

2) сложение и вычитание уравнений;

3) перестановку уравнений в системе;

4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Пример 1. Решить систему .

; ;

; .

По формулам Крамера находим: .

Ответ: .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)