Отделение корней

Теоретическая часть

Введение

Во многих практически важных случаях, когда уравнение имеет сложный вид, аналитически его точное решение найти не удается. Отсутствуют методы решения в общем виде алгебраических уравнений высоких степеней. Для трансцендентных уравнений точное решение можно найти в немногих самых простых случаях.

Если решение нельзя найти в явном виде, то для отыскания корня используют другие методы. Например, приближенное решение можно получить методом последовательных приближений. Сравнительно легко корни уравнения определяются графически — достаточно лишь для уравнения f(x) = 0 построить график функции y=f(x) и найти точки пересечения кривой с осью абсцисс, в которых эта функция равна нулю. Наконец, корень уравнения можно попытаться определить «методом подбора».

Однако ни один из перечисленных подходов нельзя считать достаточно эффективным при решении инженерных и научных задач на ПЭВМ. Более предпочтительны способы, обеспечивающие одновременно как оперативность получения результата, так и высокую точность.

Когда говорят о методах решения нелинейных уравнений на ПЭВМ, то подразумевают в первую очередь итерационные методы. Главным признаком итерационного метода является много­кратное повторение одного и того же набора действий для получения результата.

В основе итерационного метода лежит итерационная, т. е. повторяемая процедура. Процедура эта строится таким образом, что после каждого ее выполнения производится очередное приближение к корню. Можно сказать, что итерационный метод не­сколько напоминает отыскание корня подбором, однако этот подбор производится не наугад, а по вполне определенному алгоритму.

Отделение корней

При решении практических задач обычно приходится проводить предварительное исследование уравнения до его решения. Дело в том, что если уравнение не удается решить аналитически, то заранее трудно определить, сколько оно имеет корней и какова их природа — сколько из них комплексных или веществен­ных, сколько отрицательных или положительных. Поиск корней наугад без предварительного исследования чреват тем, что правильный ответ так и не будет найден. Кроме того, зачастую некоторые корни не имеют физического смысла, и поэтому нет необходимости определять их точные значения.

Однако в ходе предварительного исследования уравнения можно, не вычисляя точных значений всех корней, сразу выбрать из них те, которые представляют наибольший интерес.

Примерное положение корней уравнения f(х) = 0 на числовой оси легко определить, построив график функции y=f(x). Точки пересечения кривой y=f(x) с осью абсцисс, где y = 0, и будут соответствовать искомым корням.

Построенный график позволяет провести отделение указанных корней, т. е. найти на оси х границы отрезков, в каждом из которых располагается не более одного корня.

Пример 1. Отделить корень уравнения cosx= 2х.

Поиск по сайту: