Решение. Для отделения корней исследовалась производная уравнения F'(x) = 15х2 - 20, корни которой легко определились анали­тически: это ±2/

Для отделения корней исследовалась производная уравнения F'(x) = 15х² - 20, корни которой легко определились анали­тически: это ±2/ . Определим знаки функции на интервалах

[- ;-2/ ]; [-2/ ; 2/ ]; [2/ ; + ].

Следовательно, корни расположены на отрезках [-3;-2]; [0;1] и [1;2].

Теперь уравнение F(x) = 0 следует привести к виду х = \|/(х), что можно сделать разными способами, например:

1) х =х + (5х³ - 20х + 3), тогда (x) = 5х³ - 19х + 3;

2) тогда

3) тогда

Определим, какой из полученных функций \|/(х) следует вос­пользоваться для вычисления последовательных приближений. Итерационный процесс сходится, если

Выберем на отрезке [0; 1] произвольную точку х₀. Пусть х₀ = 0,5. Тогда

Проверим условие сходимости итерационного процесса:

— расходящийся итерационный процесс;

— сходящийся итерационный процесс.

Следовательно, для вычисления последовательных приближений можно использовать только

Тогда, выбирая х₀ = 0,5, определим х₁ = (х₀), т. е.

Если |х₂ – х₁ | , то х₁ — корень уравнения. В противном случае вычисляем х₂ = (х₁)

Затем снова проверка

| х₂ –х₁ | .

Если условие выполняется, то х₂ — корень уравнения, в про­тивном случае вычисляется величина х₃ = (х₂). Процесс про­должается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точ­ность.

При составлении программы введены следующие обозначе­ния:

ХО — предыдущее значение корня;

XI — последующее значение корня;

Eps — точность вычислений.

Программа _____________________________________________

Program Рг;

Var

Eps, ХО, XI,С: Real;

Begin

Write(' Введите ХО, Eps'); Readln (X0,Eps);

Repeat

X1:=(5* EXP(3* LN (X0))+3)/20;

C:=ABS(X1-X0);

X0:=X1;

Until С <= Eps;

Writeln(' Корень уравнения=',Х0);

Readln;

End.

В операторе Readln (X0,Eps) — операторе ввода начальных данных — переменным ХО и Eps задаются значения: Х0: = 0,5; Eps: = 0,0001.

В операторе цикла Repeat...Until многократно вычисляется последующее i -е приближение (X1) через предыдущее (i - 1)-е (Х0). Оператор С: = ABS(Xl-X0) производит вычисление модуля разности между последующим приближением и предыдущим. Оператор Х0: = Х1 пересылает значение последующего прибли­жения (X1) в переменную Х0, т. е. делается подготовка к сле­дующей итерации.

Если |Х1 - Х0| > Eps, т. е. точность не достигнута, то цикл продолжается. Если корень найден с заданной точностью, осу­ществляется печать найденного корня.

Пример 8. Методом итераций уточнить с точностью до 0,0001 корень уравнения 2cos (х+ /6) +х² - Зх+ 2 = 0.

Поиск по сайту: