Метод Ньютона (касательных). Если x0 — начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле

Если x₀ — начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле

Если f' и f" (первая и вторая производные) непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке [ a; b ], a f(a) f(b) < 0, то, исходя из начального приближения х₀ [ а; b ], удовлетворяю­щего условию f(x₀)f"(x₀) < 0, можно вычислить с любой точно­стью единственный корень уравнения f(x) = 0.

На практике часто используют модификации метода Ньюто­на, свободные от этого недостатка. Одно из упрощений сводится к тому, что производная вычисляется только один раз в началь­ной точке и затем это значение используется на всех последую­щих шагах. Данная модификация основывается на предположе­нии о малом изменении производной вблизи корня.

Одной из наиболее известных модификаций является метод секущих. В этом методе производная заменяется ее приближен­ным значением:

В формуле для F'(x) в отличие от f'(x) приращение х = х_i+1 - x_iполагается малым, но х 0. Геометрически это означает, что приближенным значением корня считается точка пересечения секущей, проходящей через две точки функции f(x) и f(x_i + h), с осью абсцисс. Схема метода Ньютона показана на рисунке 10.

Выберем на отрезке [ а; b ]произвольную точку х₀ — нулевое приближение. Затем найдем

далее

.

Рис. 10. Метод Ньютона (а) и метод секущих (б)

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сво­дится к вычислению чисел х_n по формуле п = 1, 2, 3,....

Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

|x_n – x_n-1| < .

Схема итерационного процесса метода Ньютона приведена на рисунке 11, из которого понятно, что каждое следующее при­ближение может быть определено по формуле

Рисунок 11 - Схема алгоритма Ньютона

Пример 14. Методом Ньютона (касательных) найти корень уравнения х⁴ - 2х - 4 = 0 с точностью до 0,01.

Поиск по сайту: