АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод Ньютона (метод касательных). Графическая интерпретация метода представлена на рис.3.5

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  3. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  6. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  7. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  8. I. Методические основы
  9. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  10. I. Организационно-методический раздел
  11. I. Предмет и метод теоретической экономики
  12. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.

Графическая интерпретация метода представлена на рис.3.5. Предположим, что каким-либо способом найдено начальное приближение х 0 к истинному корню. Например, при использовании отделения корней, в качестве х 0 можно взять левую или правую границу промежутка, содержащего корень уравнения F (x) = 0, либо любую другую точку из этого промежутка. В точке х 0 вычислим значение функции F (x), а также значение ее производной F ‘(x). Следующее приближение к корню, т.е. точку х 1 определим, как пересечение оси ОХ с касательной к кривой F (x) в точке х 0:

Аналогичным образом, вычислив значения F (x) и F ‘(x), в точке х 1, можно получить приближение х 2:

В общем случае вычислительный процесс метода Ньютона выражается формулой:

(3.6)

где каждое новое значение х k (k=1, 2, 3, …) будет располагаться все ближе к истинному корню х *., т.е. будет представлять собой все более точное приближение к решению уравнения F (x) = 0.

 

Рис.3.5. Метод Ньютона Рис.3.6. Модифицированный метод Ньютона

 

Процесс уточнения корня по формуле (3.6) следует прекращать, когда выполнится условие , т.е. когда расстояние между двумя соседними приближениями станет меньше заранее за­данной точности .

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10-5 – 10-6 достигается за 4-5 итераций. Недостатком метода является необходимость вычисления на каждом шаге не только левой части F (x) уравнения, но и ее первой производной.

Алгоритм метода Ньютона представлен на рис. 3.7. Из формулы (3.6) видно что для вычисления каждого нового (текущего) приближения требуется знать лишь од­но предыдущее приближение. Эти две величины в блок-схеме названы соответственно х Т и х П. После ввода исходных данных переменной х П присваивается значение () для того, чтобы первая проверка условия | х Т – х П | > обязательно дала значение True. Рис.3.7. Алгоритм метода Ньютона  

На практике иногда применяется так называемый модифицированный метод Ньютона, который отличается от метода Ньютона тем, что первая производная от F (x) вычисляется лишь один раз в точке х 0. Вычислительный процесс модифицированного метода Ньютона описывается формулой:

(3.7)

а его геометрическая иллюстрация приведена на рис. 3.6.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.002 сек.)